《圆锥曲线与方程》教材例题变式题

【备课资料五】　　

 《圆锥曲线与方程》教材例题变式题 　　

　 　

　　　　　　　　　

X

　　　　

Y

　　　　　　

P

　　　　　　　　

O

　　　　

D

　　　　

M

　　　　　　　　　　　　　　　1．（人教A版选修1－1，2－1第39页例2）　　

如图，在圆　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？　　

变式1：设点P是圆　 　　　上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．　　

解：设点M的坐标为　 　　　，点P的坐标为　 　　　，则　 　　　，　 　　　．即　 　　　，　 　　　．　　

因为点P 　　　　在圆　 　　　上，所以　　

　　　　．　　

即　 　　　，　　

即　 　　　，这就是动点M的轨迹方程．　　

变式2：设点P是圆　 　　　上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足　 　　　．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．　　

解：设点M的坐标为　 　　　，点P的坐标为　 　　　，由　 　　　，得　　

　　　　，　　

即　 　　　，　 　　　．　　

因为点P　 　　　在圆　 　　　上，所以　　

　　　　．　　

即　 　　　，　　

即　 　　　，这就是动点M的轨迹方程．　　

变式3：设点P是曲线　 　　　上的任一点，定点D的坐标为　 　　　，若点M满足　 　　　．当点P在曲线　 　　　上运动时，求点M的轨迹方程．　　

解：设点M的坐标为　 　　　，点P的坐标为　 　　　，由　 　　　，得　　

　　　　，　　

即　 　　　，　 　　　．　　

因为点P　 　　　在圆　 　　　上，所以　　

　　　　．　　

即　 　　　，这就是动点M的轨迹方程．　　

　 　

2．（人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题）　　

已知经过椭圆　 　　　的右焦点　 　　　作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，　 　　　是椭圆的左焦点．　　

（1）求　 　　　的周长；　　

（2）如果AB不垂直于x轴，　 　　　的周长有变化吗？为什么？　　

变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是　　

A．　 　　　            B．　 　　　        C．　 　　　   D．　 　　　　　

解一：设椭圆方程为　 　　　，依题意，显然有　 　　　，则　 　　　，即　 　　　，即　 　　　，解得　 　　　．选D．　　

解二：∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，∴　 　　　.　　

∵　 　　　，∴　 　　　，∴　 　　　．故选D．　　

　 　

变式2：已知双曲线　 　　　的左，右焦点分别为　 　　　，点P在双曲线的右支上，且　 　　　，则此双曲线的离心率e的最大值为          ．　　

解一：由定义知　 　　　，又已知　 　　　，解得　 　　　，　 　　　，在　 　　　中，由余弦定理，得　 　　　，要求　 　　　的最大值，即求　 　　　的最小值，当　 　　　时，解得　 　　　．即　 　　　的最大值为　 　　　．　　

解二：设　 　　　，由焦半径公式得　 　　　，∵　 　　　，∴　 　　　，∴　 　　　，∵　 　　　，∴　 　　　，∴　 　　　的最大值为　 　　　．　　

变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在　 　　　轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，　 　　　与　 　　　共线．　　

（Ⅰ）求椭圆的离心率；　　

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且　 　　　，证明　 　　　为定值．　　

解：（Ⅰ）设椭圆方程为　 　　　，　　

则直线AB的方程为　 　　　，代入　 　　　，化简得　　

　　　　.　　

设A（　 　　　），B　 　　　），则　 　　　　　

由　 　　　与　 　　　共线，得　　

　　　　又　 　　　，　　

　　　　　　

即　 　　　，所以　 　　　，　　

故离心率　 　　　　　

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知　 　　　，所以椭圆　 　　　可化为　 　　　　　

设　 　　　，由已知得　 　　　　　

　　　　 　 　　　在椭圆上，　 　　　　　

即　 　　　①　　

由（Ⅰ）知　 　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

又　 　　　，代入①得　 　　　　　

故　 　　　为定值，定值为1.　　

　 　

3．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题　2.1A　组第6题）　　

已知点P是椭圆　 　　　上的一点，且以点P及焦点　 　　　，　 　　　为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．　　

变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆　 　　　的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为                           　　

       A．　 　　　             B．　3               　C．　 　　　              D．　 　　　　　

解：依题意，可知当以F₁或F₂为三角形的直角顶点时，点P的坐标为　 　　　，则点P到x轴的距离为　 　　　，故选D．（可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形）　　

变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知　 　　　的顶点B、C在椭圆　 　　　上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则　 　　　的周长是　　

       A．　 　　　　　　　B．　　6　　　　　 　   C．　 　　　　　　　    D．12　　

解：由于椭圆　 　　　的长半轴长　 　　　，而根据椭圆的定义可知　 　　　的周长为　 　　　，故选C．　　

4．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题）　　

　　　　　　    如图，矩形ABCD中，　 　　　，　 　　　，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，　 　　　，　 　　　，　 　　　是线段CF的四等分点．请证明直线ER与　 　　　、ES与　 　　　、ET与　 　　　的交点L，M，N在同一个椭圆上．　　

　 　

变式1：直线　 　　　与双曲线　 　　　的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数　 　　　           ．　　

解：将直线　 　　　代入双曲线C的方程　 　　　整理，得　　

　　　　                     ……①　　

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故　　

　　　　解得　 　　　．　　

设A、B两点的坐标分别为　 　　　、　 　　　，则由①式得　　

　　　　                             ……②　　

∵双曲线C的右焦点F 　　　　在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：　　

　　　　　　

整理，得　 　　　……③　　

把②式及　 　　　代入③式化简，得　 　　　　　

解得　 　　　，故　 　　　．　　

变式2（2002年广东卷）：A、B是双曲线　 　　　上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．　　

（Ⅰ）求直线AB的方程；　　

（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
    解：（Ⅰ）直线AB的方程为　 　　　．（求解过程略）　　

（Ⅱ）联立方程组　 　　　得　 　　　、　 　　　．　　

由CD垂直平分AB，得CD方程为　 　　　．　　

代入双曲线方程　 　　　整理，得　 　　　．　　

记　 　　　，　 　　　以及CD的中点为　 　　　，　　

则有　 　　　从而　 　　　．　　

∵　 　　　．　　

∴　 　　　．　　

又　 　　　．　　

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．　　

故A、B、C、D四点共圆．　　

变式3（2005年湖北卷）：设A、B是椭圆　 　　　上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.　　

   （Ⅰ）确定　 　　　的取值范围，并求直线AB的方程；　　

（Ⅱ）试判断是否存在这样的　 　　　，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.　　

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为　 　　　整理，得　 　　　   ①　　

设　 　　　①的两个不同的根，　　

　　　　   ②　　

　　　　是线段AB的中点，得　　

　　　　　　

解得　 　　　＝－1，代入②得，　 　　　＞12，即　 　　　的取值范围是（12，＋　 　　　）.　　

于是，直线AB的方程为　 　　　　　

解法2：设　 　　　　　

　　　　　　

依题意，　 　　　　　

　　　　　　

（Ⅱ）解法1：　 　　　代入椭圆方程，整理得　　

　　　　                       ③　　

　　　　③的两根，　　

　　　　　　

于是由弦长公式可得　 　　　   ④　　

将直线AB的方程　 　　　　　　　  ⑤　　

同理可得　 　　　   ⑥　　

　　　　　　

假设在在　 　　　＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为　 　　　   ⑦　　

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得　　

　　　　　　

故当　 　　　时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，　 　　　为半径的圆上.　　

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：　　

A、B、C、D共圆　 　　　△ACD为直角三角形，A为直角　 　　　　　

　　　　   ⑧　　

由⑥式知，⑧式左边＝　 　　　　　

由④和⑦知，⑧式右边＝　 　　　　　

                   　　　　　　

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆　　

解法2：由（Ⅱ）解法1及　 　　　.　　

　　　　代入椭圆方程，整理得　　

　　　　 ③      解得　 　　　.　　

将直线AB的方程　 　　　代入椭圆方程，整理得　　

　　　　  ⑤    解得　 　　　.　　

不妨设　 　　　　　

∴　 　　　　　

　　　　　　

计算可得　 　　　，∴A在以CD为直径的圆上.　　

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.　　

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）　　

5．（人教A版选修1－1，2－1第59页习题2.2B组第1题）　　

    求与椭圆　 　　　有公共焦点，且离心率　 　　　的双曲线的方程．　　

变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆　 　　　和双曲线　 　　　有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是　　

A．　 　　　      B．　 　　　      C．　 　　　       D．　 　　　　　

    解：依题意，有　 　　　，即　 　　　，即双曲线方程为　 　　　，故双曲线的渐近线方程是　 　　　，即　 　　　，选D．　　

变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率　 　　　，且它的一个焦点与抛物线　 　　　的焦点重合， 则此椭圆方程为（    ）　　

       A．　 　　　                                     B．　 　　　　　

       C．　 　　　                                      D．　 　　　　　

    解：∵抛物线　 　　　的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的　 　　　，又　 　　　，则　 　　　，进而　 　　　，所以椭圆方程为　 　　　，选A．　　

　 　

6．（人教A版选修1－1，2－1第66页例4）　　

    斜率为1的直线　 　　　经过抛物线　 　　　的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．　　

变式1：如果　 　　　，　 　　　，…，　 　　　是抛物线　 　　　上的点，它们的横坐标依次为　 　　　，　 　　　，…，　 　　　，F是抛物线的焦点，若　 　　　，则　 　　　___．　　

解：根据抛物线的定义，可知　 　　　（　 　　　，2，……，8），　　

∴　 　　　．　　

变式2（2004年湖南卷理）：设F是椭圆　 　　　的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点　 　　　使　 　　　，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为        ．　　

    解：设　 　　　，则　 　　　，于是　 　　　，即　 　　　，由于　 　　　，　 　　　，故　 　　　，又　 　　　，故　 　　　　　　　．　　

　　　

BN

　　　　

F

　　　　

AN

　　　　

CN

　　　　　

O

　　　　

X

　　　　

Y

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数　 　　　，　 　　　是抛物线　 　　　上的点，过焦点　 　　　的直线　 　　　交抛物线于另一点　 　　　．　　

（Ⅰ）试证：　 　　　；　　

（Ⅱ）取　 　　　，并记　 　　　为抛物线上分别以　 　　　与　 　　　为切点的两条切线的交点．试证：　 　　　．　　

证明：（Ⅰ）对任意固定的　 　　　,因为焦点　 　　　,所以可设直线　 　　　的方程为　 　　　,将它与抛物线方程　 　　　联立，　　

得　 　　　，由一元二次方程根与系数的关系得　 　　　．　　

（Ⅱ）对任意固定的　 　　　，利用导数知识易得抛物线　 　　　在　 　　　处的切线的斜率　 　　　，故　 　　　在　 　　　处的切线方程为　 　　　，         ①　　

    类似地，可求得　 　　　在　 　　　处的切线方程为　 　　　，    ②　　

    由②减去①得　 　　　，　　

从而　 　　　，  　　　　，　 　　　，  ③　　

将③代入①并注意到　 　　　得交点　 　　　的坐标为　 　　　.　　

由两点间距离公式,得　 　　　　　

=　 　　　.从而　 　　　.　　

现在　 　　　，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，　　

　　　　　　　　…　 　　　　　

　　　　…　 　　　　　

=　 　　　.　　

　 　

7．（人教A版选修2－1第67页例5）　　

    过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．　　

　　　

O

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

F

　　　　

A

　　　　

X

　　　　

Y

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　变式（2001年全国卷）：设抛物线　 　　　（　 　　　）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．　　

证明1：因为抛物线　 　　　（　 　　　）的焦点为　 　　　，所以经过点F的直线AB的方程可设为　　

    　 　　　，代人抛物线方程得　　

        　　　　．　　

    若记　 　　　，　 　　　，则　 　　　是该方程的两个根，所以　　

　　　　．

因为BC∥X轴，且点C在准线　 　　　上，所以点C的坐标为　 　　　，　　

　　　

F

　　　　

A

　　　　

X

　　　　

Y

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

D

　　　　　　　故直线CO的斜率为　 　　　　　

即　 　　　也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．　　

证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，　　

过A作AD⊥L，D是垂足．则　　

    AD∥FE∥BC．　　

连结AC，与EF相交于点N，则　　

　　　

O

　　　　

E

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

N

　　　　　　　　　　　　　　　

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|       ，　　

　　　　　　

    即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．　　

　 　

8．（人教A版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A组第8题）　　

斜率为2的直线　 　　　与双曲线　 　　　交于A，B两点，且　 　　　，求直线的方程．　　

变式1（2002年上海卷）：已知点　 　　　和　 　　　，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线　 　　　交于D、E两点，求线段DE的长．　　

解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为　 　　　．　　

联立　 　　　得　 　　　．　　

设　 　　　，　 　　　，则　 　　　．　　

所以　 　　　．　　

故线段DE的长为　 　　　．　　

变式2：直线　 　　　与椭圆　 　　　交于不同两点A和B，且　 　　　（其中O为坐标原点），求k的值．　　

解：将　 　　　代入　 　　　，得　 　　　．　　

由直线与椭圆交于不同的两点，得　　

　　　　即　 　　　．　　

设　 　　　，则　 　　　．　　

由　 　　　，得　 　　　．　　

而　 　　　　　

　　　　．　　

于是　 　　　．解得　 　　　．故k的值为　 　　　．　　

　 　

变式3：已知抛物线　 　　　．过动点M（　 　　　，0）且斜率为1的直线　 　　　与该抛物线交于不同的两点A、B．若　 　　　,求a的取值范围．　　

解：直线　 　　　的方程为　 　　　，　　

将    　　　　，　　

得    　　　　．　　

设直线　 　　　与抛物线的两个不同交点的坐标为　 　　　、　 　　　，　　

则  　 　　　      　　

又　 　　　，　　

∴     　　　　　　

            　　　　　　

            　　　　．　　

∵     　　　　，　　

∴     　　　　．　　

解得　 　　　．