《导数》变式题（新教材人教版例题变式题）
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【备课资料四】
《导数》变式题（新教材人教版例题变式题）
一 导数的概念与运算
1。如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m /s B. 18m /s C. 54m /s D. 81m /s
解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54. 答案：C
变式：定义在D上的函数 ，如果满足： ， 常数 ，都有 ≤M成立，则称 是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
文（1）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
理（2）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解： （1） ∵ . 由 ≤1，得 ≤1
∴
令 ，显然 在 上单调递减，
则当t→+∞时， →1. ∴
令 ，显然 在 上单调递减，
则当 时， ∴
∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
（2）∵ . 由 ≤1，得 ≤1
∴
令 ，则 .
当 时，有 ，
∴ 在[0，+∞ 上单调递减.
故当t=0 时，有 ；
又 ，当t→+∞时， →0，
∴ ，从而有 ≤0，且 . ∴0≤a≤1； 故所求a的取值范围为0≤a≤1.
2.已知 的值是（ ）
A. B. 2 C . D. －2
解：
得 选A
变式1： （ ）
A．－１ Ｂ．－ 2 C．－3 D．1
解：
.
选B.
变式2： （ ）
A． B． C． D．
3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2：
根据所给的函数图像比较
变式：函数 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. y
B.
C.
D. O 1 2 3 4 x
解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ， T
y B
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
4．人教版选修1－1第93页习题A组第4题，选修2－2第18页习题A组第4题，
求所给函数的导数：
。
变式：
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时, ＞0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
5．人教版选修1－1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题
已知函数 .(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点 处的切线的方程.
变式1：已知函数 .(1)求这个函数在点 处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
解：（1）依题意得：切点为 ，
由点斜式得切线方程 ，
即 .
（2） 设切点为
由点斜式得 ，
切线过原点，
切点为 由点斜式，得： 即：
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B. C. D. 1
解：设切点为 ①
②
由①、②得 ,选B
说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点.
6．人教版选修1－1第99页例2选修2－2第25页例2
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
变式1：函数 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
解： ，选A
或 （理科要求：复合函数求导）
变式2：（1） 已知函数 (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则 的值是 . (2)若函数在 上是单调增函数，则 的取值范围是 .
解： (1)若函数的单调递减区间是（-3，1） ，(2) 若函数在 上是单调增函数
解：（1） ，因为函数的单调递减区间是（-3，1） ，
所以-3,1是方程 的两个实数根,由韦达定理， （草图略）
（2）若函数在 上是单调增函数 ，
如图示，分类讨论：
① 当 即 即 条件成立；
② 当 ，即 条件成立；
综上， 条件成立， 为所求.
变式3： 设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用 表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围.
解：（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ，
即 .因为 所以 .
又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以
而
将 代入上式得 因此 故 ， ，
（II）解法一 .
当 时，函数 单调递减.
由 ，若 ；若
由题意，函数 在（－1，3）上单调递减，则
所以
所以 的取值范围为
解法二：
因为函数 在（－1，3）上单调递减，且 是（－1，3）
上的抛物线，
所以 即 解得
所以 的取值范围为
7．人教版选修1－1第103页例4 ，选修2－2第29页例4
求函数 的极值.
人教版选修1－1第106页例5 ，选修2－2第32页例5
求函数 在 上的最大值与最小值..
变式1：
|
|
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A
变式2：已知函数 在点 处取得极大值 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示.求：
（Ⅰ） 的值；
（Ⅱ） 的值.
解：
（Ⅰ）由图得
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X |
(0,1) |
1 |
(1,2) |
2 |
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|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
则 =1;
（Ⅱ）依题意得 即
.
变式3：
若函数 ，当 时，函数 有极值 ，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数 有3个解，求实数 的取值范围．
解：
（1） 由题意：
所求解析式为
（2）由（1）可得：
令 ，得 或
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
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— |
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单调递增↗ |
|
单调递减↘ |
|
单调递增↗ |
因此，当 时， 有极大值
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函数 的图象大致如图：……13分 y=k
由图可知：
变式4：已知函数 ，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
解：
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
|
X |
（－¥，－ ） |
－ |
（－ ，1） |
1 |
（1，＋¥） |
|
f¢（x） |
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
f（x） |
|
极大值 |
¯ |
极小值 |
|
f（x）＝x3－ x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－ 时，f（x）＝ ＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c 2>f （2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题
8.人教版选修1－1第108页B 组习题，选修2－2第34页B组习题
利用函数的单调性，证明：
变式1：证明： ，
证明：（1）构造函数 ，
，当 ，得下表
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+ |
0 |
— |
|
|
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
总有
另解 ，当 ，
当 ， 单调递增， ……①
当 ， 单调递减， ………………②
当 …………………………………………………………③
综合①②③得：当 时，
（2）构造函数 ，
当 ，当 单调递减；
当 单调递增； 极小值= ，
总有 即： .
综上（1）（2）不等式 成立.
变式：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
解：
方程f(x)=x2+x+a, 即x－a+1－ln(1+x)2=0，记g（x）=x－a+1－ln(1+x)2.
所以 .由 >0,得x<－1或x>1,由 <0
得－1<x<1.
所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在 上各有一个实根，于是有
9. 函数 若 恒成立,求实数 的取值范围
解：由 ，得 单调递增；
又 ，
所以 是奇函数. ，
在 上单调递增， 恒成立，即： 恒成立，分类：①当 恒成立， 适合；
②当 恒成立 解得：
综上，
说明:（1）通过研究函数的性质（单调性与奇偶性），利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.（2）找寻使 恒成立的条件实际上依然用的是函数图像（数形结合）的函数思想.
变式:设函数 若 恒成立，求实数 的取值范围.
解：由 ，得 单调递增；
又 ，
所以 是奇函数. ，
恒成立，即 恒成立.
①当 成立； ②当
10.如图,曲线段OMB是函数 的图象, 轴于点A,曲线段OMB上一点M 处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q
(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求 的面积的最大值
|
|
由点斜式得切线PQ方程为 ，
即 ……①
(2) …………②
对①令x=6得 …………③
令y=0得 …………④
③④代入②得
，令 解得
|
T |
(0,4) |
4 |
(4,6) |
|
S’ |
+ |
0 |
- |
|
S |
增 |
极大值64 |
减 |
所以当t=4时 有极大值64,
所以当t=4时, 的面积的最大值为64.
11.用长为 90cm ，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
解：设容器的高为x，容器的体积为V.
则 (0 < x < 24)
＝ x
∵ x
由
∴
所以 当
又
所以 0
答：该容器的高为 10cm 时，容器有最大容积19600
12.某厂生产某种产品 件的总成本 （万元），已知产品单价的平方与产品件数 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
分析：先建立总利润的目标函数，总利润=总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解：设产品的单价P元，据已知， ，
设利润为y万元，则
，
递增； 递减，
极大= 最大.
答：当产量为25万件时，总利润最大
四、理科定积分、微积分
选修2-2第59页例1、例2
计算下列定积分：
变式1：计算：；
（1） ；（2）
解：.（1）
(2)利用导数的几何意义： 与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为 （图略）
变式2： 求将抛物线 和直线 围成的图形绕 轴旋转一周得到的几何体的体积.
分析：利用定积分的定义解题，应当画出草图.
解：先求出抛物线 和直线 交点坐标（1，1），（1，-1）
利用定积分的定义易得：
变式3：在曲线 上某一点A处作一切线使之与曲线以及 轴所围的面积为 ，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.
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