导数及其应用易错题剖析

【备课资料三】　　

导数及其应用易错题剖析　　

一、利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.　　

复合函数求导要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　实际上应是　 　　　，求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如　 　　　选成　 　　　，　 　　　计算起来就复杂。　　

[例1]已知　 　　　,则　 　　　              .　　

错因：复合函数求导数计算不熟练,其　 　　　与　 　　　系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:　 　　　.　　

正解：设　 　　　,　 　　　,则　 　　　　　

　　　　　　　　　　　　.　　

练习巩固：　 　　　在点x=3处的导数是____________.　　

二、不能正确理解导数与连续的关系，应用时出错。　　

若函数　 　　　在　 　　　处可导，则此函数在点　 　　　处连续，但逆命题不成立，即函数　 　　　在点　 　　　处连续，未必在　 　　　点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。　　

[例2]已知函数　 　　　判断f(x)在x=1处是否可导？　　

错解：　 　　　。　　

分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 　　

解：　 　　　　　

　　　　 　　　　　

　　　∴ f(x)在x=1处不可导.　　

注：　 　　　，指　 　　　逐渐减小趋近于0；　 　　　，指　 　　　逐渐增大趋近于0。　　

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即　 　　　，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.　　

练习巩固：函数　 　　　在　 　　　处不可导，则过点　 　　　处，曲线　 　　　的切线         （    ） 　　

A．必不存在　B．必定存在   C．必与x轴垂直　 D．不同于上面结论　　

三、求函数的切线方程忽视已知点与函数图像的位置关系。　　

[例3]求　 　　　在点　 　　　和　 　　　处的切线方程。　　

错因：直接将　 　　　，　 　　　看作曲线上的点用导数求解。　　

分析：点　 　　　在函数的曲线上，因此过点　 　　　的切线的斜率就是　 　　　在　 　　　处的函数值；　　

点　 　　　不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．　　

解：　 　　　　　

即过点　 　　　的切线的斜率为4，故切线为：　 　　　．　　

设过点　 　　　的切线的切点为　 　　　，则切线的斜率为　 　　　，又　 　　　，　　

故　 　　　，　 　　　。　　

即切线　 　　　的斜率为4或12，从而过点　 　　　的切线为：　　

　　　　　　

点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．　　

[例4]求证：函数　 　　　图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.　　

分析： 由导数的几何意义知，要证函数　 　　　的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 　　

解：（1）　 　　　，即对函数　 　　　定义域内的任一　 　　　，其导数值都小于　 　　　，于是由导数的几何意义可知，函数　 　　　图象上各点处切线的斜率都小于1.　　

（2）令　 　　　，得　 　　　，当　 　　　时，　 　　　；当　 　　　时，　 　　　，　　

　　　　曲线　 　　　的斜率为0的切线有两条，其切点分别为　 　　　与　 　　　，切线方程分别为　 　　　或　 　　　　　　　。　　

点评： 在已知曲线 　　　　切线斜率为　 　　　的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是　 　　　的导数值为　 　　　时的解，即方程　 　　　的解，将方程　 　　　的解代入　 　　　就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程　 　　　有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 　　

练习巩固：已知曲线　 　　　及点　 　　　，求过点　 　　　的曲线　 　　　的切线方程.　　

错解：　 　　　，　 　　　过点　 　　　的切线斜率　 　　　，　 　　　过点　 　　　的曲线　 　　　的切线方程为　 　　　.　　

错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点　 　　　凑巧在曲线　 　　　上，求过点　 　　　的切线方程，却并非说切点就是点　 　　　，上述解法对求过点　 　　　的切线方程和求曲线在点　 　　　处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.　　

正解：设过点　 　　　的切线与曲线　 　　　切于点　 　　　，则过点　 　　　的曲线　 　　　的切线斜率　　

　　　　，又　 　　　，　 　　　。①　 　　　点　 　　　在曲线　 　　　上，　　

　　　　②，②代入①得　 　　　　　

化简，得　 　　　，　 　　　或　 　　　.若　 　　　，则　 　　　，过点　 　　　的切线方程为　 　　　；若　 　　　，则　 　　　，过点　 　　　的切线方程为　 　　　　　　　过点　 　　　的曲线　 　　　的切线方程为　 　　　或　 　　　　　

四、忽略函数在指定区间条件单调性的条件。　　

在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数　 　　　取值为0的点称为函数　 　　　的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数　 　　　在点　 　　　处有极小值　 　　　=0，可是这里的　 　　　根本不存在，所以点　 　　　不是　 　　　的驻点.　　

(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数　 　　　的导数　 　　　，在点　 　　　处有　 　　　，即点　 　　　是　 　　　的驻点，但从　 　　　在　 　　　上为增函数可知，点　 　　　不是　 　　　的极值点.　　

(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.　　

 [例5]已知函数　 　　　在　 　　　上是减函数，求　 　　　的取值范围.　　

错解：　 　　　　　　　　　　　在　 　　　上是减函数，　 　　　在　 　　　上恒成立，　　

　　　　对一切　 　　　恒成立，　 　　　，即　 　　　，　 　　　.　　

正解:　 　　　　　　　，　 　　　在　 　　　上是减函数，　 　　　　　　　　　　　在　 　　　上恒成立，　 　　　且　 　　　，即　 　　　且　 　　　，　 　　　.