数列求和问题中的七类错解问题剖析

【备课资料二】　　

数列求和问题中的七类错解问题剖析　　

 一．正确使用求和公式的条件，特别是等比数列求和公式中q=1的情况。　　

求和：a +a²+a³+…+aⁿ.　　

错解：　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a+a²+a³+…+aⁿ＝　 　　　.　　

错因：是（1）数列｛aⁿ｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.　　

正解：当a＝0时，a+a²+a³+…+aⁿ＝0;　　

 当a＝1时，a+a²+a³+…+aⁿ＝n;　　

当a　 　　　1时，　 　　　 a+a²+a³+…+aⁿ＝　 　　　　　

练习巩固：设　 　　　是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和.证明：　 　　　。　　

错解：欲证　 　　　　　

只需证　 　　　＞2　 　　　　　

即证：　 　　　＞　 　　　　　

由对数函数的单调性，只需证　 　　　＜　 　　　　　

　　　　　　　　－　 　　　＝　 　　　＝－　 　　　　　

　　　　  　　　　＜　 　　　　　

　　　　  原不等式成立.　　

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.　　

正解：欲证　 　　　　　

只需证　 　　　＞2　 　　　　　

即证：　 　　　＞　 　　　　　

由对数函数的单调性，只需证　 　　　＜　 　　　　　

由已知数列　 　　　是由正数组成的等比数列，　　

　　　　　　　　>0,　 　　　.　　

若　 　　　,则　 　　　－　 　　　＝　 　　　 ＝－　 　　　＜0；　　

若　 　　　,　 　　　－　 　　　＝　 　　　＝－　 　　　　　

　　　　  　　　　＜　 　　　　　

　　　　  原不等式成立.　　

　 　

二、摆正前几项和与通项之间的关系避免错解　　

 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.　　

错解：（1）a_n=3n+7;　　

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.　　

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a₁=10　 　　　1,显然3n+7不是它的通项.　　

正解：（1）a_n=3n－2;　　

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.　　

　 　

 三．由前n项和　 　　　求通项时注意　 　　　中并不包括首项　 　　　。　　

[例2] 已知数列　 　　　的前n项之和为① 　　　　  ② 　　　　  　　

求数列　 　　　的通项公式。　　

错解： ① 　　　　　　

      ② 　　　　　　

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a_n＝S_n－S_n-1与的关系，没注意a₁=S₁.　　

正解：     ①当　 　　　时，　 　　　　　

           当　 　　　时，　 　　　　　

           经检验 　　　　时 　　　　 也适合，　 　　　　　　　　　

          ②当　 　　　时，　 　　　　　

             当　 　　　时，　 　　　　　

        ∴ 　　　　  　 　　　　　

　 　

　 　

 四．正确运用数列前n项和的性质解决求和问题　　

[例3] 已知等差数列　 　　　的前n项之和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于           。　　

错解：S₃₀= S₁₀·2d. 　　　　 d＝30， 　　　　 S₄₀= S₃₀+d =100.　　

错因：将等差数列中S_m, S　_2m　 －S_m, S　_3m　 －S　_2m　成等差数列误解为S_m, S　_2m　, S　_3m　成等差数列.　　

正解：由题意：　 　　　得　 　　　　　

代入得S₄₀ ＝　 　　　。　　

练习巩固： 已知等比数列　 　　　的前n项和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于.　　

错解：S₃₀= S₁₀·q ². 　　　　 q ²＝7，q＝　 　　　，　 　　　 S₄₀= S₃₀·q =　 　　　.　　

错因：是将等比数列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等比数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等比数列.　　

正解：由题意：　 　　　得　 　　　，　　

　　　　S₄₀=　 　　　.　　

　 　

五．正确运用数列前n项和通项公式的关系解决求值问题　　

[例4]等差数列　 　　　、　 　　　的前n项和为S_n、T_n.若　 　　　求　 　　　；　　

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a_n=7n+1;b_n=4n+27.　　

　　　　　　

错因：误认为　 　　　　　　　　　

正解：　 　　　。　　

六．正确运用数列前n项和的分段形式　　

[例5]已知一个等差数列　 　　　的通项公式a_n=25－5n，求数列　 　　　的前n项和；　　

错解：由a_n0得n　 　　　5　　

　　　　　　　　前5项为非负，从第6项起为负，　　

　　　　S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=50(n　 　　　5)　　

当n　 　　　6时，S_n=｜a₆｜+｜a₇｜+｜a₈｜+…+｜a_n｜＝　 　　　　　

　　　　 S_n=　 　　　　　

错因：一、把n　 　　　5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n　 　　　6起”的和.　　

正解： 　　　　 　　

七．充分阅读数列应用题的内容材料  从而或缺准确信息解决求和问题　　

[例6] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？　　

错解：　 　　　年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a₁₉=a(1+r)¹⁸.　　

错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.　　

正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)¹⁸，　　

1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹⁷，　　

2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹⁶，　　

……　　

17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)¹，　　

　　　　a(1+r)¹⁸+ a(1+r)¹⁷+  …+ a(1+r)¹

＝　 　　　＝　 　　　　　

答：取出的钱的总数为　 　　　。