备课资料一：导数的定义及几何意义

【备课资料一】　　

导数定义及其几何意义　　

一．教材目标要求：　　

了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
 二、基础知识归纳：　　

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。本期对于导数的学习，主要是以下几个方面:　　

1．刻画函数（比初等方法精确细微）；　　

2．同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；　　

3．曲线的切线　　

     在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线　 　　　与曲线C相切；而直线　 　　　尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线　 　　　是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．　　

　　　　　　

    4．瞬时速度　　

     在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．　　

    5．导数的定义　　

    导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．　　

    对导数的定义，我们应注意以下三点：　　

    (1)△x是自变量x在 　　　　处的增量(或改变量)．　　

    (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，　 　　　有极限，那么函数y=f(x)在点　 　　　处可导或可微，才能得到f(x)在点　 　　　处的导数．　　

    (3)如果函数y=f(x)在点　 　　　处可导，那么函数y=f(x)在点　 　　　处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．　　

     由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：　　

    (1)求函数的增量　 　　　；　　

    (2)求平均变化率　 　　　；　　

    (3)取极限，得导数　 　　　。　　

    6．导数的几何意义　　

     函数y=f(x)在点　 　　　处的导数，就是曲线y=(x)在点　 　　　处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：　　

    (1)求出函数y=f(x)在点　 　　　处的导数，即曲线y=f(x)在点　 　　　处的切线的斜率；　　

     (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为　　

    　　　　　　

     特别地，如果曲线y=f(x)在点　 　　　处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为　 　　　　　

   典例分析：　　

（1）考查定义：　　

例1．　 　　　   在　 　　　处可导，则　 　　　     　　　　     　　

思路：　 　　　   在　 　　　处可导，必连续　 　　　    　　　　   　 　　　   ∴ 　　　　　　

　　　　    　　　　    ∴ 　　　　   　 　　　　　

　 　

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：　　

         （1）　 　　　；  （2）　 　　　　　

         分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在　 　　　处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。　　

         解：（1）　 　　　　　

         　　　　　　

         （2）　 　　　　　

         　　　　　　

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。　　

　 　

例3．观察　 　　　，　 　　　，　 　　　，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。　　

解：若　 　　　为偶函数    　　　　    令　 　　　　　

    　　　　　　

          　　　　    　　

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数　　

    另证：　 　　　　　

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数　　

（2）求切线的方程　　

A.点在曲线上且该点为切点,切线有且只有一条.　　

例4、（1）已知f ( x )是可导的偶函数，且　 　　　，则曲线y = f ( x )在（–1，2）处的切线方程是             　　

解：　 　　　　　　　（导函数的定义）　　

    　　　　　　　　=-2　　

    　　　　　　　　　　

     又　 　　　为偶函数　　

     则　 　　　　　　　　　　　在（-1，2）处的切线方程是y = 4x + 6.　　

例5、已知函数f(x)=2x³+ax,g(x)=bx²+c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求a,b,c及f(x),g(x)的表达式.　　

解：f(x)=2x³+ax的图象过点P(2,0)故a=－8，故f(x)=2x³－8x,    f′(x)=6x²－8,f′(2)=16.　　

由g(x)=bx²+c的图象过点P(2,0)得4b+c=0.　　

又g′(x)=2bx,g′(2)=4b=f′(2)=16，　　

∴b=4.从而c=－16.　　

∴f(x)=2x³－8x,g(x)=4x²－16.                 　　

B.点在曲线上且该点可以为切点也可以不为切点,切线有且只有两条　　

例6．求曲线S：y=3x-x³的过点A（2，-2）的切线的方程　　

解：令切点坐标为（x₀，y₀）则曲线S在切点处的斜率为：k=3-3x²₀　　

∴切线方程为，y-y₀=（3-3x₀²）（x-x₀）   又∵切线过A（2，-2）点　　

∴-2-y₀=3（1-x₀²）（2-x₀）    又y₀=3x₀-x₀³

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y₀=3x₀-x₀³                 x₀=2　　

∴                       ∴　　

y₀=-2-3（1-x₀²）（2-x₀）     x₀=-1　　

当x₀=2时，切点为（2，-2）切线方程：y=-9x+16　　

当x₀=-1时，切点为（-1，-2）切线方程：y=-12　　

例7.已知曲线　 　　　则过点P（2，4）的切线方程是------　　

分析:按例3中的理解求出的切线方程应该有两条即　 　　　和　 　　　，其中一条是以P（2，4）为切点的切线方程，另一条是过点P与曲线相切于点（—1，1）的切线方程。而给出的数学评分答案只有前一条方程　 　　　，显然命题人的初衷是要求学生能求以P点为切点的切线方程。　　

C.点不在曲线上,切线有且只有两条.　　

例8.已知函数　 　　　在　 　　　处取得极值。　　

(I)讨论　 　　　和　 　　　是函数　 　　　的极大值还是极小值；　　

(II)过点　 　　　作曲线　 　　　的切线，求此切线方程。　　

分析:本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。　　

(I)解：　 　　　依题意，　 　　　即　　

　　　　　　

解得    　　　　　　

　　　　　　

令 　　　　得　 　　　               　　

若  　　　　则　 　　　，故　　

        　　　　在　 　　　上是增函数，　　

　　　　在　 　　　上是增函数。　　

若  　　　　则　 　　　，故　　

　　　　在　 　　　上是减函数。　　

所以，　 　　　是极大值；　 　　　是极小值。          　　

(II)解：曲线方程为　 　　　点　 　　　不在曲线上。　　

设切点为　 　　　则点M的坐标满足　　

           　　　　　　

因　 　　　故切线的方程为　　

          　　　　　　

意到点　 　　　在切线上，有  　　　　　　

化简得　 　　　解得　 　　　　　

所以，切点为　 　　　切线方程为 　　　　  　　

规律小结: 导数法求曲线的切线的一般步骤:一.判断点是否在曲线上.二.若该点在曲线上要确定过该点存在几条切线,一般情况下曲线有几个拐点就应有几条切线;若该点不在曲线上切不可直接求该点出的导数做为切线的斜率(这是常见的错误),而应设切点和切线方程.  三.上两步解决后就可运用上面例题中提供的方法解决问题了.　　

结束语：导数的引入为我们解题提供了许多简单明了的方法，同学们一定要认真学习，勤加归纳，掌握好它在解题中的各种应用。