2009年上海市普通高等学校春季招生考试
录入者：netlab 人气指数： 次 发布时间：2010年02月02日
2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．函数 的定义域是 .
2．计算： （ 为虚数单位）.
3．函数 的最小正周期 .
4．若集合 ，集合 ，则 .
5．抛物线 的准线方程是 .
6．已知 . 若 ，则 与 夹角的大小为 .
7．过点 和双曲线 右焦点的直线方程为 .
8．在△ 中，若 ，则 等于 .
9．已知对于任意实数 ，函数 满足 . 若方程 有2009个实数解，
则这2009个实数解之和为 .
10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个
字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”
的概率为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数
轴上截取与闭区间 对应的线段，对折后（坐标1
所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作
（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 变成 ，原来的坐标 变成1，等等）.
那么原闭区间 上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与
1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间 上（除两个端点外）的点，
在第 次操作完成后（ ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为
.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.
12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
13．过点 与圆 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线
方程是 [答] ( )
（A） . （B） . （C） . （D） .
14．已知函数 若 ，则 的取值范围是 [答] ( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（A） |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（D） |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（C） |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（B） |
15．函数 的反函数图像是 [答] ( )
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
如图，在斜三棱柱 中，
， ，侧棱 与底面所成的
角为 ， ， . 求斜三棱柱
的体积 .
17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 . 若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值.
18. (本题满分14分)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
如图，在直角坐标系 中，有一组对角线长为 的正方形 ，
其对角线 依次放置在 轴上（相邻顶点重合）. 设 是首项为 ，公差为 的等差数列，点 的坐标为 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点 均落在抛物线 上；
（3）为使所有顶点 均落在抛物线 上，求 与 之间所应满足的关系式.
20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.
设函数 ，其中 为正整数.
（1）判断函数 的单调性，并就 的情形证明你的结论；
（2）证明： ；
（3）对于任意给定的正整数 ，求函数 的最大值和最小值.
2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. 5. 8. . 9. 0. 10. .
11. ； 为 中的所有奇数.
二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
|
题 号 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
代 号 |
B |
C |
A |
C |
三．（第16至20题）
16. [解] 在 △ 中，
. …… 3分
作 平面 ，垂足为 ，则 ，
…… 6分
在 △ 中，
. …… 9分
. …… 12分
17. [解] （1） ， ①
当 时， . ②
由 ① - ②，得 .
. …… 3分
又 ， ，解得 . …… 4分
数列 是首项为1，公比为 的等比数列.
（ 为正整数）. …… 6分
（2）由（1）知， ， …… 8分
. …… 10分
由题意可知，对于任意的正整数 ，恒有 ，解得 .
数列 单调递增， 当 时，数列中的最小项为 ，
必有 ，即实数 的最大值为 . …… 14分
18. [解] 设所求轨道方程为 ， .
， . …… 4分
于是 .
所求轨道方程为 . …… 6分
设变轨时，探测器位于 ，则
， ，
解得 ， （由题意）. …… 10分
探测器在变轨时与火星表面的距离为
. …… 13分
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分
19. [证明]（1）由题意可知， ，
. …… 3分
，
顶点 不在同一条直线上. …… 4分
（2）由题意可知，顶点 的横坐标 ，
顶点 的纵坐标 . …… 7分
对任意正整数 ，点 的坐标满足方程 ，
所有顶点 均落在抛物线 上. …… 9分
（3）[解法一] 由题意可知，顶点 的横、纵坐标分别是
消去 ，可得 . …… 12分
为使得所有顶点 均落在抛物线 上，则有
解之，得 . …… 14分
所应满足的关系式是： . …… 16分
[解法二] 点 的坐标为
点 在抛物线 上，
. …… 11分
又点 的坐标为 且点 也在抛物线上，
，把点 代入抛物线方程，解得 . …… 13分
因此， ， 抛物线方程为 .
又
所有顶点 落在抛物线 上. …… 15分
所应满足的关系式是： . …… 16分
20. [解] （1） 在 上均为单调递增的函数. …… 2分
对于函数 ，设 ，则
，
，
函数 在 上单调递增. …… 4分
（2） 原式左边
. …… 6分
又 原式右边 .
. …… 8分
（3）当 时，函数 在 上单调递增，
的最大值为 ，最小值为 .
当 时， ， 函数 的最大、最小值均为1.
当 时，函数 在 上为单调递增.
的最大值为 ，最小值为 .
当 时，函数 在 上单调递减，
的最大值为 ，最小值为 . …… 11分
下面讨论正整数 的情形：
当 为奇数时，对任意 且
，
以及 ，
，从而 .
在 上为单调递增，则
的最大值为 ，最小值为 . …… 14分
当 为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数 ，有
，
.
函数 的最大值为 ，最小值为 .
综上所述，当 为奇数时，函数 的最大值为 ，最小值为 .
当 为偶数时，函数 的最大值为 ，最小值为 . …… 18分