泉州七中高二理科数学周练《抛物线》2012.11.10

泉州七中高二理科数学周练《抛物线》2012.11.10 班级 座号 姓名_____________ 一、选择题 1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是(　　) A．直线　　　　　B．抛物线　　　　C．椭圆 　　　　D．双曲线 2．已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 两点， =12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为（ ） A．18 　 B.24 　　　　 C.36 　　　　 D.48 3．已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知直线 ：4x－3y＋6＝0和直线 ：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线 和直线 的距离之和的最小值是(　　) A． B．3　　　　　　　C. D. 2 5．过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为 ，则 等于(　　) A. 　　　　　　B. 　　　　　　C． 　　　　D. 6．若抛物线 的焦点是F，准线是 ，则经过点 且与 相切的圆共有(　　) A．3个 　　　　　B．2个　　　　　　C．1个 　　　　　 D．0个 7．设F为抛物线 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 ＝0，则 等于(　　) A．3 　　　　　　　B．6　　　　　　　C． D． 8．设抛物线 的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则 与 的面积之比等于(　　) A.45 B.23 C.47 D.12 二、填空题 9．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线 的距离等于22，则这样的点P的个数为________． 10．已知抛物线 的焦点为F,点 在抛物线上,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,则四边形PQMF的面积等于 . 11．如图，过抛物线 的焦点的直线 依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________． 12.过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则 = . 三、解答题 13．已知定点F(0,1)和直线 :y=-1,过定点F与直线 相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线 交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线 于点R,求 的最小值. 14．如图,过点F(1,0)的直线 与抛物线C: 交于A、B两点. (1)若|AB|=8,求直线AB的方程; (2)记抛物线C的准线为 ,设直线OA、OB分别交 于点N、M,求 的值. 15．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点；（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值. 泉州七中高二理科数学周练《抛物线》2012.11.10 答案一、选择题 1.动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是(　A　) A．直线　　　　 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【解析】∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，而|PM|即为P到直线x＋y－4＝0的距离 ∴动点P的轨迹为过点M垂直于直线x＋y－4＝0的直线．故选A. 2. （2011•新课标全国高考文科•Ｔ9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A,B两点， =12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为（ C ） A．18 B.24 C.36 D.48 【解析】设抛物线方程为 ，则点C ，在方程中，令 ，则 ，即 ，得 ， ， 点 到直线AB的距离为 ， 3.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ B ） A、 B、 C、 D、 【解析】设抛物线方程为 ，则点 焦点 ，点 到该抛物线焦点的距离为 ， ， 解得 ，所以 4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　D　) A．3716 B．3 C.115 D. 2 【解析】如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝|4＋6|32＋42＝2，故选Ｄ. 5．(2010•黑龙江双鸭山质检)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则mnm＋n等于(　B　) A.12a B.14a C．2a D.a4 【解析】特例法．取通径AB，则m＝n＝12a，故mnm＋n＝14a. 6．若抛物线 的焦点是F，准线是 ，则经过点 且与 相切的圆共有(　C　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解析】　经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线 上．故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有1个交点，所以共有1个圆． 7.设F为抛物线 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 ＝0，则 等于(　D　) A．3 B．6 C． D． 【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)， ． ∵ ＝0，∴x1＋x2＋x3＝ . 又由抛物线定义知 ＝x1＋ ＋x2＋ ＋x3＋ ＝ ，故选D 8．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　A　) A.45 B.23 C.47 D.12 【解析】由|BF|＝2小于点M到准线的距离3＋12知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为32，代入得y2＝3，则B32，－3，另一种可能是32，3，那么此时直线AC的方程为y－0－3－0＝x－332－3，即y＝2(x－3)2－3，把y＝2(x－3)2－3代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝32＋122＋12＝45，故选A. 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 9．点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于22，则这样的点P的个数为________．【答案】3 【解析】由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为y204，y0，由点到直线的距离公式，知y204－y02＝22，即y20－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个． 10.已知抛物线 的焦点为F,点 在抛物线上,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,则四边形PQMF的面积等于 . 【答案】 【解析】由点 在抛物线上,得 故抛物线的标准方程为 其焦点为F(0,1),准线为y=-1,所以|FM|=2,|PQ| |MQ|=1,则直角梯形PQMF的面积等于 . 11.(2010•泰安质检)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________． 【答案】　y2＝3x 【解析】　解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3， ∴p＝12|CF|＝32，∴抛物线方程为y2＝3x. 解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCM＝30°，又|AF|＝3，从而Ap2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝32. 12.【2012高考真题重庆理14】过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则 = . 【答案】 【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，设A,B的坐标分别为的 ，则 ，设 ，则 ，所以有 ，解得 或 ，所以 . 三、解答题 13.已知定点F(0,1)和直线 :y=-1,过定点F与直线 相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线 交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线 于点R,求 的最小值. 【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到直线 的距离, ∴点C的轨迹是以F为焦点 为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为 . (2)由题意设直线 的方程为y=kx+1, 与抛物线方程联立消去y,得 . 设 则 . ∵直线PQ的斜率 易得点R的坐标为 ∵ 当且仅当 时取到等号, ∴ 即 的最小值为16. 14.如图,过点F(1,0)的直线l与抛物线C: 交于A、B两点. (1)若|AB|=8,求直线AB的方程; (2)记抛物线C的准线为l′,设直线OA、OB分别交l′于点N、M,求 的值. 【解】(1)设 |AB|=8,即 又p=2,∴ . ∵|AB|>2p, ∴直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1). 由方程组 消去y,得 ∴ 即 得 . ∴直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0. (2)当直线l的斜率不存在时, 4=-3. 当直线l的斜率存在时,由(1)知 =-4, 设 三点共线, ∴ . 同理可得 . ∴ . 综上 . 15.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点；（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值. 【解】（1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 点 到准线 的距离 圆 的方程为 （2）由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 .