泉州七中高二理科数学周练《导数》2012.12.28
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泉州七中高二理科数学周练《导数》2012.12.28
班级 座号 姓名_____________
一、选择题
1．质点运动规律，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．9.3 B．36.3 C．3.3 D．6.3
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某汽车的路程函数是，则当时，汽车的加速度是 ( )
A．14 m/s2 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
5．若f(x)＝，e<a<b，则( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．不确定
6．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
7．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )
A．－ B．0 C. D．5
8．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为 ( )
9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为( )
A. B.∪ C.∪ D.
10．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
11．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若， ，则大小关系是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．
14.已知总变动成本函数为：（q为产量：），则边际成本最低时的产量为________。
15．已知，函数在[1，＋∞)上是单调增函数，则的最大值是________．
16．已知，记，
，则________.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
（1）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7） （为参数）
18．已知曲线
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
19．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20.已知函数，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t>0时，求f(x)的单调区间．
21．设函数.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
22. 如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（ Ⅱ）求
泉州七中高二理科数学周练《导数》2012.12.28答案
一、选择题
1． [解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速度＝＝＝6.3，故应选D.
2．[答案] D
3．[解析]由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．选 Ａ
4．解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2.答案：B
5．解析f′(x)＝，当x>e时，f’(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．Ａ
6．[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0. [答案] B
7．[解析] 由题设可知f(x＋5)＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.
8．[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
9．[解析] 设P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，
∴tanα＝3x－≥－.∴α∈∪.故应选C.
10．[解析] y′|x＝1＝＝ ＝1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1，选Ｃ.
11．[解析] 当0<x<1时xf′(x)<0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数
当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
12. [答案] D
二、填空题
13．解析：设切点的坐标为(x0，x＋3x－1)，则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，可得切线的斜率为－3，又f′(x)＝3x2＋6x，故3x＋6x0＝－3，解得x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0. 14.
15．解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.
16．解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2＋…＋f2012＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
解：（1）， 。
（2）＝
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
(8)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋logae.
18．[解析] ∵y＝ ，∴y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．
即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)．解得a＝，
代回方程①整理可得：切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入点斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切线方程为y＝－x＋或y＝－x－.
19．[解析] (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
20. [解析] (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.
(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.
令因t>0，则－t＜.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－∞，－t)
|
|
|
|
f′(x)
|
＋
|
－
|
＋
|
|
f(x)
|
|
|
|
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，； f(x)的单调递减区间是.
21．[解析] (1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.
综合得a的取值范围为(－∞，1]．
22. 解：（Ⅰ）设，由得由得。
（ Ⅱ），得，