斜三角形的复习-教学设计黄丽婷

复习<<解斜三角形>>　　

●知识梳理　　

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=　 　　　=　 　　　.=2R　　

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.　　

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；　　

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.　　

2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即　　

a²=b²+c²－2bccosA；                          ①　　

b²=c²+a²－2cacosB；                          ②　　

c²=a²+b²－2abcosC.                          ③　　

在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c²=a²+b².　　

由此可知余弦定理是勾股定理的推广.　　

由①②③可得　　

cosA=　 　　　；cosB=　 　　　；cosC=　 　　　.　　

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：　　

（1）已知三边，求三个角；　　

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.　　

　 　

●典例剖析　　

【例1】在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是　　

A.b=20，A=45°，C=80°           B.a=30，c=28，B=60°　　

C.a=14，b=16，A=45°               D.a=12，c=15，A=120°　　

　 　

【例2】在△ABC中，sinA=　 　　　，判断这个三角形的形状.　　

 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.　　

　 　

【例3】在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知b²=ac  ，且a²－c²= ac－bc，求∠A的大小及　 　　　的值.　　

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.　　

　 　

【例4】（2009江西卷）在△　 　　　中，　 　　　所对的边分别为a,b,c，已知　 　　　，　 　　　．　　

（1）求角　 　　　；  （2）若　 　　　，求a,b,c.　　

   关注: 三角与向量的结合　　

　 　

【例5】已知△ABC中，2　 　　　（sin　²A　－sin　²C　）=（a－b）sinB，外接圆半径为　 　　　.　　

（1）求∠C；  （2）求△ABC面积的最大值.　　

　 　

●思悟小结　　

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，　　

∴sin　 　　　=cos　 　　　，cos　 　　　=sin　 　　　，tan　 　　　=cot　 　　　.　　

2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.　　

3.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.　　

　 　

●练习　　

1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是　　

A.等腰直角三角形                          B.直角三角形　　

C.等腰三角形                                  D.等边三角形　　

2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是　　

A.sinA+cosA=　 　　　                                B.　 　　　·　 　　　＞0　　

C.tanA+tanB+tanC＞0                     D.b=3，c=3　 　　　，B=30°　　

3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=　 　　　（a²+b²－c²），则∠C的度数是_______.　　

4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.　　

5.在△ABC中，若∠C=60°，则　 　　　=_______.　　

6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_____.　　

　 　

●思考: 在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求　 　　　的取值范围.