等比数列的前n项和

一、教学内容分析　　

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-1》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。　　

二、学生学习情况分析　　

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。　　

三、设计思想　　

《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。　　

四、教学目标　　

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。　　

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。　　

五、教学重点、难点　　

教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。　　

教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导　　

所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。　　

教学准备：　　

包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等　　

1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）　　

2.普通高中课程标准教科书数学（必修）5及配套光盘　　

3.两种教材的主要差异对比　　

4.课件《等比数列的前n项和》改编　　

六、教学过程设计：　　

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，　　

尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：　　

（一）创设情境，提出问题　　

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印　　

度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？　　

【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学　　

生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。　　

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　导学生写出麦粒总数                     。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。　　

【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍　　

不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。　　

（二）师生互动，探究问题　　

　　　　　　　　在肯定他们的思路后，我接着问：                  是什么数列？有何特征？                    应归结为什么数学问题呢？　　

　　　　【学情预设】：探讨1：设                        ，记为　　

（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）　　

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，　　

　　　　（1）式两边同乘以2则有                           ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？　　

【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n　　

项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。　　

经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同　　

　　　　的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：          。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？　　

【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。　　

（三）类比联想，解决问题　　

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列　 　　　，首　　

项为　 　　　，公比为　 　　　，如何求前n项和　 　　　？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。　　

【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已　　

知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。　　

【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由　 　　　得　 　　　对不对？这里的　 　　　能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？　 　　　时是什么数列？此时　 　　　？（这里引导学生对　 　　　进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）　　

再次追问：结合等比数列的通项公式　 　　　,如何把　 　　　用　　

　　　　、　 　　　、　 　　　表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）　　

【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认　　

识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。　　

（四）讨论交流，延伸拓展　　

在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其　　

　　　　它方法吗？我们知道,　　

　　　　那么我们能否利用这个关系而求出　 　　　呢？根据等比数列的定义又有　 　　　，能否联想到等比定理从而求出　 　　　呢？　　

【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让　　

学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到　　

　　　　, 这其实就是关于　 　　　的一个递推式，递推数列有非　　

常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源　　

于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.　　

（五）变式训练,深化认识　　

例1：求等比数列　 　　　前8项和；　　

 变式 1、等比数列　 　　　前多少项的和是　 　　　；　　

 变式2、等比数列　 　　　求第5项到第10项的和；　　

 变式3、等比数列　 　　　求前2n项中所有偶数项的和。　　

首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。　　

【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认　　

识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。　　

（六）例题讲解，形成技能　　

例2：求和　 　　　　　

【设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，　　

该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。　　

（七）总结归纳，加深理解　　

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学　　

生积极回答，然　后　老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。　　

【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能　　

力。　　

（八）故事结束，首尾呼应　　

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小　　

麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽　10米　、厚　8米　的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。  　　

【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克　　

服疲倦、继续积极思维。　　

（九）课后作业，分层练习　　

必做：P66练习1：(1)、(2)；2　　

选作：思考题：（1）求和　 　　　　　

（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请　　

问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？　　

【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，　　

让学有余力的学生有思考的空间。　　

七、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。