因式分解
录入者:netlab 人气指数: 次 发布时间:2008年06月28日
『教学分析』
因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一,因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的,它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的应用,也为以后学习分式的约分与通分、解方程(组)及三解函数式的恒等变形提供了必要的基础,因此学好因式分解对于代数知识的后续学习,具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法,运用公式法,分组分解法来进行因式分解,必须以理解因式分解的概念为前提,所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对初一学生还比较生疏,接受起来有一定难度,再者本节还没涉及因式分解的具体方法,所以理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点.
『教学目标』
『认知目标』:(1)理解因式分解的概念和意义
(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形,并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
『能力目标』:由学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析、判断能力和创新能力,发展学生智能,深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
『情感目标』:培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考,勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
一、导入新课
把下列各式多分解因式:
1.x2+6x-72; 2.(x+y) 2-8(x+y)+48;
3.x4-7x2+18; 4.x2-10xy-56y2.
答:
1.(x+12)(x-6); 2.(x+y-12)(x+y+4);
3.(x+3)(x-3)(x2+2); 4.(x-14y)(x+4y).
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.
对于二次项系数不是1的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.
二、新课
例1 把2x2-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下解,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
2 3
(1) 1×3+2×1=5
1 3
2 1
(2) 1×1+2×3=7
1 -1
2 -3
(3) 1×(-3)+2×(-1)=-5
1 -3
2 -1
(4) 1×(-1)+2×(-3) =-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1a2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
指出:通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3 把5x2+6xy-8y2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) 2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
2 +1
1×1+2×(-2)=-3
指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
三、课堂练习
1.用十字相乘法分解因式:
(1)2x2-5x-12; (2)3x2-5x-2;
(3)6x2-13x+5; (4)7x2-19x-6;
(5)12x2-13x+3; (6)4x2+24x+27.
2.把下列各式分解因式:
(1)6x2-13xy+6y2; (2)8x2y2+6xy-35;
(3)18x2-21xy+5y2; (4)2(a+b) 2+(a+b)(a-b)-6(a-b) 2.
答案:
1.(1)(x-4)(2x+3); (2)(x-2)(3x+1);
(3)(2x-1)(3x-5); (4)(x-3)(7x+2);
(5)(3x-1)(4x-3); (6)(2x+3)(2x+9).
2.(1)(2x-3y)(3x-2y); (2)(2xy+5)(4xy-7);
(3)(3x-y)(6x-5y); (4)(3a-b)(5b-a).
四、小结
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时,应注意以下问题:
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件:
a1 c1
在式子 中,竖向的两个数必须满足关系a1a2=a,c1c2=c;在上式中,斜向的
a2 c2
两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时,图的上一行两个数中,a1是第一个因式中的一次项系数,c1是常数项;在下一行的两个数中,a2是第二个因式中的一次项的系数,c2是常数项.
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把它转化为正数,)只需把它分解成两个正的因数.
2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.
3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4.
五、作业
1.用十字相乘法分解因式:
(1)2x2+3x+1; (2)2y2+y-6;
(3)6x2-13x+6; (4)3a2-7a-6;
(5)6x2-11xy+3y2; (6)4m2+8mn+3n2;
(7)10x2-21xy+2y2; (8)8m2-22mn+15n2.
2.把下列各式分解因式:
(1)4n2+4n-15; (2)6a2+a-35;
(3)5x2-8x-13; (4)4x2+15x+9
(5)15x2+x-2; (6)6y2+19y+10;
(7)20-9y-20y2; (8)7(x-1) 2+4(x-1)(y+2)-20(y+2) 2.
答案:
1.(1)(2x+1)(x+1); (2)(y+2)(2y-3);
(3)(2x-3)(3x-2); (4)(a-3)(3a+2);
(5)(2x-3y)(3x-y); (6)(2m+n)(2m+3n);
(7)(x-2y)(10x-y); (8)(2m-3n)(4m-5n).
2.(1)(2n-3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a-7);
(3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3);
(5)(3x-1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2);
(7)-(4y+5)(5y-4); (8)(x+2y+3)(7x-10y-27).