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练习测试

高三数学查漏补缺题

录入者:netlab  人气指数: 次  发布时间:2010年02月02日

一、三角部分  

1.已知                                            

   I     (或     );II      

解(I             

              

        .

            

   II       

    .  

             

    .     .  

解法2               .    

             

    

    

    

           .  

2.右图为函数     的一段图象.                                   

   I请写出这个函数的一个解析式;              

   II)求与(I)中函数图象关于直线     

对称的函数图象的解析式,并作出它一

个周期内的简图.

       解:(I          

            的图象过     

           (为其中一个值).

            为所求.

   II)设     为所求函数图象上任意一点,该点关于直线     对称点为     ,则点     必在函数     的图象上.

            ,即     

           的图象关于直线     对称的函数图象的解析式是

           .

       

    

    

    

   列表:                                        作图:

      

    

    

    

    

    

    

0

    

    

    

    

    

0

-3

0

3

0

   

   

   

   

   

   

二、概率  

      3.(文科)一辆车要直行通过某十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶). 已知每辆车直行的概率是     ,左转行驶的概率是     ,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟,一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟,求:

   I)前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率;

   II)该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)

       解:()前4辆恰有2辆左转行驶的概率      

   )该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率

             .

4.(理科) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.  

   )求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;  

   )求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.  

解:()依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:  

ξ  

0  

1  

2  

3  

P  

      

      

      

      

甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×     +1×     +2×     +3×     =     .  

   )设甲、乙两人考试合格的事件分别为AB,则  

PA=     =     =     PB=     =     =     .  

因为事件AB相互独立,  

方法一:甲、乙两人考试均不合格的概率为  

P     =P     P     =1     )(1     =     .  

甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1P     =1     =     .  

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为     .  

方法二:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为  

P=PA·     +P     ·B+PA·B=PAP     +P     PB+PAPB  

=     ×     +     ×     +     ×     =     .  

       答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为     .  

三、立体几何  

5.已知矩形ABCD中,AB=     AD=1. △ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC.  

)求证:平面ADC平面BCD   

)求点C到平面ABD的距离;  

                

A

    

B

    

C

    

D

                                  

A

                            

B

    

C

    

D

    

E

    )若EBD中点,求二面角B-AC-E的大小.  

   

   

   

   

   

   

   

   

      方法1  

   )证明:A在平面BCD上的射影落在DC上,  

即平面ACD经过平面BCD的垂线,  

平面ADC⊥平面BCD.   

   

F

      

A

                            

B

    

C

    

D

    

E

              

G

      )解:依条件可知BC⊥DC,又平面     平面       

且平面     平面            

∴BC⊥平面ACD.   ∵DA     平面ACD  

∴BC⊥DA.①   依条件可知DA⊥AB.    

②∵AB∩BC=BDA⊥平面ABC.  

设点C到平面ABD的距离为d  

∵DA⊥平面ABC∴DA是三棱锥D-ABC的高.  

VC-ABD=VD-ABC,得     dSABD=     DASABC.    

解得d=     .  

即点C到平面ABD的距离为     .   

       )解:取     中点     ,连              中点  

      

由()中结论可知DA⊥平面ABC∴EF⊥平面ABC.  

FFG⊥AC,垂足为G,连结EG  

GFEG在平面ABC的射影,       

∴∠EGF是所求二面角的平面角.    

△ABC           

FG     BC     , EF         ADEF       

         △EFG中容易求出∠EGF=45°.  

即二面角B-AC-E的大小是45°.    

方法2)证明:如图,以CB所在直线为x轴,DC  

所在直线为y轴,过点C,平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.  

所以C000), B100),D0,-     0),设       

A在平面BCD上的射影落在DC上,  

          ,  

     .  

A的坐标为A0          .  

n1=001)是平面BCD的一个法向量.  

     =100)是平面ADC的一个法向量.  

n1·     = 001·100=0  

平面ACD平面BCD.    

   )解:设点C到平面ABD的距离为d  

     =0     -     ),     =1          ),  

    =0          ),  

容易求出平面ABD的一个法向量为n2=-     1-1 .  

d=||     |cos<     n2>|=|1×     |=     .  

即点C到平面ABD的距离为     .  

   )解:     = -1-          ),     =100  

容易求出平面ABC的一个法向量为n3= 011 .

A0-          ),E     -     0),  

     =      0-     .  

容易求出平面AEC的一个法向量为n4= 2           .  

n3·n4=0+     +     =2     | n3|=     | n4|=2          

∴cos< n3n4>=     =     .      

二面角B-AC-E的大小是45°.             

6*如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN     NC1.  

)求证:AM     BC         ;(或若          的中点,求证:     .  

)若二面角B1AMN的平面角的余弦值为     ,求     的值;  

)在第()的前提下,求点B1到平面AMN的距离.  

解法1:()因为M是底面BC边上的中点,且AB=AC,所以AM     BC  

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,     底面     ,      AM               .所以AM     平面         .   

(或:连结                 ,     .    

      II)因为AM     平面            

     M     平面         NM     平面           

AM         M, AM     NM  

         MN为二面角     —AM—N的平面角.  

     ,设C1N=     ,则CN=1       

         M=         ,MN=     ,    

     N,得     N       

         MN中,由余弦定理得    

    ,    

     =     .     =2.  

III)过     在面     内作直线          为垂足.     平面     ,所以AM         H.于是     H     平面AMN,故     H的长即为     到平面AMN的距离.     中,  

    H     M     .故点     到平面AMN的距离为1.                 

解法2:()建立如图所示的空间直角坐标系,则     001),M0     0,  

C0,1,0, A      ),设N 0,1,a ,所以,  

         ,       

因为     所以     ,同法可得     .  

     AM     BC         .  

   II)由()知﹤     ﹥为二面角     —AM—N的平面角,以下同法一.  

   )设n=x,y,z)为平面AMN的一个法向量,则由     得,由(II)知       

    .          

故可取       

        到平面AMN的距离为       

四、解不等式  

7已知集合A     B     .  

   I)当a2时,求A     B         

   II)求使B     A的实数a的取值范围.  

解:(I)当a2时,A=(27),B=(45  

A      B=(45  

   II)解集合B            

     ,则 B=     ;当     ,则 B=(2aa21),  

解集合A       

a     时,A=(3a12);当a     时,A       

a     时,A=(23a1);  

要使B     A  

     ,则 B=     , B     A成立;  

     ,则 B=(2aa21),  

a     时,A=(3a12)要使B     A,必须      此时a=-1  

a     时,A     ,而B         ,故使B     Aa不存在;  

a          时,A=(23a1),要使B     A,必须      此时1<a≤3.  

综上可知,使B     A的实数a的取值范围为       

8*(理)已知不等式:     ----------①

     --------------------------------------------②

     ------------------------------------------③

   I)分别求不等式①②的解集.

   II)若同时满足①②x的值也满足不等式,求实数m的取值范围.

   III)若满足不等式x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

  (文)已知不等式:     ----------------------------------------------------①

     --------------------------------------------②

     ------------------------------------------③

   I)分别求不等式①②的解集.

   II)若同时满足①②x的值也满足不等式,求实数m的取值范围.

   III)若满足不等式x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

解:(I的解集为A={x|1<x<3}(理,且x≠0

I      的解集为B={     }

II)由(1:          

要满足题意的要求,则方程2x2+mx1=0的一根小于等于0(文:小于0),另一根大于等于3.

fx= 2x2+mx1,则     (文     

   III)要满足题意的要求,则方程2x2+mx1=0的两根应在区间(-14].

fx= 2x2+mx1     抛物线开口向上且f0=-1<0,      

     .

五、数列  

9.已知各项均为正数的数列                其中     

    I)证明     

    II)设     ,试证明     

    III)若数列     满足     ,求数列     的前     项和     .

I)运用数学归纳法证明如下:

①当     时,由条件知     ,故命题成立;

②假设当     时,有     成立

那么当     时,       故命题成立

综上所述,命题     对于任意的正整数     都成立.

II         

III       

     

    数列     是以     为首项,以2为公比的等比数列.

    .     

10. 已知数列     ,其中     是首项为1,公差为1的等差数列;     是公差为     的等差数列;     是公差为     的等差数列(     .

I)若     ,求     

II)试写出     关于     的关系式,并求     的取值范围;

:I     .                    

   II                           

        

     时,     . 

六、解析几何  

11已知三点P52)、     (-60)、     60.  

(Ⅰ)求以          为焦点且过点P的椭圆的标准方程;  

(Ⅱ)设点P          关于直线yx的对称点分别为               ,求以          为焦点且过点     的双曲线的标准方程.  

解:I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为     +         ,其半焦距     .

           

         

    ,故所求椭圆的标准方程为     +     

IIP52)、     (-60)、     60)关于直线yx的对称点分别为:  

         0-6)、     06  

设所求双曲线的标准方程为         ,由题意知半焦距     

           

         

    ,故所求双曲线的标准方程为         .

12.已知定点     P     轴上运动,Mx轴上,N为动点,且

    ;  

(Ⅰ)求点N的轨迹C的方程;

(Ⅱ)过点     的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于AB两点,设点          的夹角为     ,求证:     

解:(Ⅰ)     

    

        

    0     0

     并代入①,

     即为所求.

(Ⅱ)     过点     的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于AB两点

l的方程为          

     消去y

     

     

      

    

    

          .

    

    

七、函数与导数  

13已知函数          的图象关于y轴对称,且       

I)求函数     的解析式;  

II)解不等式       

解:(I)设点     为函数     的图象上任意一点,则点P关于y轴对称点为     ,因为函数          的图象关于y轴对称,所以点     一定在函数     图象上,代入得     ,所以         .  

II       

                   

           

所以不等式的解集为     

14.如图,等腰梯形     的三边     分别与函数          的图象切于点     .求梯形     面积的最小值.

: 设梯形     的面积为     ,点P的坐标为     .  

    由题意得,点     的坐标为     ,直线     的方程为     .  

        

        

      

    直线     的方程为       

即:       

       得,       

       得,         

              

当且仅当     ,即     时,取“=”       

        时,     有最小值为     .  

    梯形     的面积的最小值为     .  

八、应用题  

15某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.  

I)写出yx之间的函数关系式;  

II)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)  

III)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:  

1)当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;  

2)当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.  

问用哪种方案处理较为合理?请说明理由.  

解:(I)依题得:       

II)解不等式       

      

III)(1       

当且仅当     时,即x=7时等号成立.  

    2015年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30114万元.  

2       

故到2018年,盈利额达到最大值,工厂获利102+12114万元  

因为盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理.  

16*甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在          两个喷雾器中分别配制成12%6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为1千克的药瓶,他们从          两个喷雾器中分别取1千克的药水,将     中取得的倒入     中,     中取得的倒入     中,这样操作进行了     次后,     喷雾器中药水的浓度为     %     喷雾器中药水的浓度为     %  

)证明     是一个常数;  

)求          的关系式;  

)求     的表达式.  

解:()开始时,     中含有10     12%1.2千克的农药,     中含有10     6%0.6千克的农药,     次操作后,     中含有10         %0.1     千克的农药,     中含有10         %0.1     千克的农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,  

从而有     ,所以     18(常数).      

)第     次操作后,     10千克药水中农药的重量具有关系式:  

       

     ,再由(1)知       

代入化简得       ①  

)令     ,利用待定系数法可求出     =-9    

所以     ,由①,  

      

      

  

20080526  

可知数列     是以     为首项,     为公比的等比数列,     

由等比数列的通项公式知:       

  

20080526  

所以     .