函数的热点回顾

《备课资料二》　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

触摸高考———函数的热点回顾　　

　　函数一直是高考考查的重点，涉及到的知识点几乎涵盖各个方面，如函数的定义域、值域、函数的解析式、图象及其变换、函数的性质（单调性、奇偶性）、指数与指数函数、对数与对数函数、幂函数、函数与方程、函数实际应用问题等．本文以部分高考题为例，从四个方面讲解高考对函数的考查．　　

函数的性质　　

　　函数的性质主要包括单调性和奇偶性．这两个性质的灵活运用是高考考查的重点．　　

　　例　下列四个数中最大的是（　　）．　　

　　（Ａ）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　       （Ｂ）　 　　　　　（Ｃ）　 　　　         （Ｄ）　 　　　　　

　　解析：本题可以根据对数函数的单调性或结合对数函数的图象比较大小．由于以e为底数的对数函数在其定义域内是增函数，所以　 　　　>　 　　　；　 　　　<0；　 　　　<　 　　　，所以最大的是ln2．　　

　　点评：比较数的大小是指数、对数中常见的一类问题，也是高考中经常考查的知识点，多以客观题的形式出现．函数的单调性、图象和媒介法是解决此类问题的有力工具．　　

函数的零点　　

　　函数的零点反映了函数与方程的密切关系．函数的零点涉及到丰富的思想方法如：数形结合思想、函数与方程思想、转化思想等，所以函数的零点是高考考查的热点．　　

　　例　设函数　 　　　与　 　　　的图象的交点为（x₀，y₀），则　 　　　所在的区间是（　　）．　　

　　（Ａ）（０，１）　　　（Ｂ）（１，２）　　（Ｃ）（２，３）　　　（Ｄ）（３，４）　　

　　解析：根据函数与方程的关系，两函数图象交点的横坐标即为函数　 　　　的零点，即原问题转化为求函数　 　　　的零点所在的区间，由于　 　　　，　 　　　．故选（B）．　　

　　点评：函数的零点，方程的根与函数图象的交点，三者之间是可以相互转化的．因此，碰见此三类问题中的任何一类问题，且不好直接解决时，我们都可以把它们转化为另外两种问题求解．　　

函数的图象　　

　　函数与其图象是不可分割的整体，在解题中，经常需要利用函数图象来研究函数的性质及不等式、方程等问题．　　

　　例１　设a、b、c均为正数，且　 　　　，则（　　）．　　

　　（Ａ）a<b<c　　　　　（Ｂ）c<b<a　　

　　　　　　　　　　（Ｃ）c<a<b　　　　　（Ｄ）b<a<c　　

　　分析：由于所给的式子是非常规等式，利用常见的比较大小的方法难以解决，但是可以根据函数思想，构造出恰当的函数，利用函数的图象即可顺利获解．如图１分别画出函数　 　　　、　 　　　、　 　　　、　 　　　的图象，图象的交点的横坐标分别是a、b、c，由图象易知a<b<c．故选（A）．　　

　　点评：解决本题需要函数的思想，把a、b、c对应的值看成相应函数的交点的值，而函数的图象容易画出，由交点的情况容易判断a、b、c的大小关系．　　

　　　　　　　　　　例２　设函数　 　　　定义在实数集R上，它的图象关于直线　 　　　对称，且当x≥1时，　 　　　　　　　，则有（　　）．　　

　　（Ａ）　 　　　（Ｂ）　 　　　　　

　　（Ｃ）　 　　　（Ｄ）　 　　　　　

　　解析：根据对称性画出　 　　　在实数集R上的图象（如图2），显然有　 　　　，且当　 　　　在区间（－∞，＋1）上为减函数，又　 　　　，所以　 　　　．故选（B）．　　

　　点评：解决函数图象问题常用的方法有：定量分析法、定性分析法．而定性分析法就是利用图象进行定性地分析，不需要具体计算，它的好处在于可以回避繁琐的计算．定性分析法是一种重要的方法，也正是高考中要求的“通性通法”具体内涵中的一种．　　

新情景　新应用　　

　　近几年对实际问题的考查有不同于前几年的特点：情景新颖，信息量大．这就更需要我们认真阅读理解题意，找出变量间的关系，确定其取值范围，从而建立函数关系进行求解．　　

　　例　为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物　 　　　　　　　释放完毕后，y与t的函数关系式为　 　　　（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：　　

　　（１）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________；　　

　　（２）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过__________小时后，学生才能回到教室．　　

　　解析：（１）由图象易知此函数是分段函数，当０≤t≤0.1时，设解析式为　 　　　，由于图象经过点（0.1，1），代入函数的解析式得：　 　　　，所以　 　　　，　 　　　；当　 　　　时，函数为类指数型，且图象也经过点（0.1，1），代入　 　　　中，可求得a＝0.1．　　

　　所以函数的关系式为：　 　　　．　　

　　（2）由题意得：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时满足　 　　　时的函数解析式，即　 　　　，解得　 　　　，　　

　　所以至少需要经过0.6小时后，学生才能够进入教室．　　

　　点评：本例属于图象信息题，这类问题来源广泛，蕴涵信息量大，突出对考生收集、整理与加工信息能力的考查．解决这类问题的一般步骤是：　　

　　（1）审察图象，捕捉有效信息；　　

　　（2）对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；　　

　　（3）选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；　　

　　（4）要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际情形．　　

　　下面试着来做做下面这道图象信息题吧！ 　　

　　练习　某上市股票在30天内每股的交易价格p（元）与时间t（天）所组成的有序数对（t，p），点（t，p）落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据，如下表所示：　　

　　（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格p（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；　　

　　（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；　　

　　（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大？最大值是多少？　　

　　参考答案：（1）该种股票交易价格p与时间t所满足的函数关系式为：　　

　　（2）Q与t满足的一次函数关系式为　 　　　且　 　　　．　　

　　（3）　 　　　　　

　　在第15天，日交易额取得最大值125万元．