图象过定点问题例析

《备课资料六》　　

图象过定点问题例析　　

　　函数图象过定点问题是高中数学中一类重要的题型，是研究函数性质的重要组成部分．通过对这类问题的研究，有助于加深对函数图象和性质的理解和应用．下面结合数学①介绍一下解决这类问题的常用解题策略．　　

　　1．指数型函数利用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（其中　 　　　，且a≠1）　　

　　例1　已知函数　 　　　　　　　（　 　　　，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．　　

　　解析：令　 　　　得　 　　　，　 　　　，因此函数　 　　　　　　　（　 　　　，且a≠1）的图象恒过定点P（1，2）．

　　例2　求证函数　 　　　　　　　的图象过定点．　　

　　证明：令　 　　　，解得　 　　　或　 　　　．　　

　　当　 　　　时，　 　　　；　　

　　当　 　　　时，　 　　　．　　

　　故函数　 　　　　　　　（其中　 　　　，且　 　　　）的图象过定点（0，1）和（1，0）．　　

　　2．对数型函数利用　 　　　（其中a>0，且a≠1）　　

　　例3　已知函数　 　　　　　　　（其中a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．　　

　　解析：令　 　　　，得　 　　　，　 　　　，因此函数　 　　　　　　　（其中a>0，且a≠１）的图象恒过定点P（4，1）．　　

　　3．幂函数型函数利用　 　　　（a∈R），　 　　　（a>0），　 　　　（　 　　　或　 　　　，k∈N）．　　

　　例4　已知函数　 　　　　　　　，（　 　　　，k∈Ｎ）的图象恒过定点P，则点P的坐标是_______．　　

　　解析：令　 　　　，则原函数变为　 　　　，∵　 　　　为幂函数且幂指数为正奇数，∴其通过的定点为（1，1），（0，0），（－1，－1）．　　

　　即　 　　　，　 　　　，　 　　　，　　

　　解得　 　　　，　 　　　，或　 　　　．　　

　　所以函数　 　　　　　　　，（　 　　　，k∈Ｎ）的图象恒过定点（log₂3，0），　　

（1，－1），（0，－2）．　　

　　4．利用奇函数的性质　　

　　若函数　 　　　是定义在实数集R上的奇函数，且　 　　　在　 　　　处有定义，则　 　　　＝0．　　

　　例5　已知函数　 　　　　　　　是定义在R上的奇函数，则函数　 　　　的图象通过的定点坐标为_____________．　　

　　解析：∵函数　 　　　　　　　是定义在R上的奇函数，　　

　　∴f（0）＝0，即函数　 　　　　　　　的图象恒过原点（0，0）．令　 　　　得x=±1，　　

　　∴函数　 　　　　　　　的图象通过的定点坐标为（－1，2），（1，2）．　　

　　学完了以上这些例题，下面这道练习的第（1）问就能轻易求解了，这下你知道函数过定点的“厉害”了吧！本练习只是抛砖引玉，说明函数过定点在解题中的应用．有兴趣的同学可以接着做第（2）问，相信你可以把它解决的．　　

　　练习：已知定义域为R的函数　 　　　　　　　是奇函数．　　

　　（1）求a，b的值；　　

　　（2）若对任意的t∈R，不等式　 　　　恒成立，求k的取值范围．　　

　　参考答案：（1）　 　　　；（2）　 　　　．