函数的应用
录入者：netlab 人气指数： 次 发布时间：2009年01月15日
一．课题：函数的应用举例
二．教学目标：1.了解解实际应用题的一般步骤；
2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；
3．向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。
三．教学重、难点：1．根据已知条件建立函数关系式；
2．用数学语言抽象概括实际问题。
四．教学过程：
（一）复习：
1.函数的三要素是什么？其中起决定作用的是什么？
2.写出等腰三角形顶角 （单位：度）与底角 的函数关系。
解： ．
说明：函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。
（二）新课：
例1．（课本P90）有一块半径为 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域。
分析：关键是用半径R与腰长x表示上底，由对称性： ，因此只要求 ．
解：设腰长 ，作 垂足为 ， 连结 ，则 ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴周长 ，
∵ 是圆内接梯形 ∴ ，
即 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ．
变式题：求梯形周长 的最大值。
解： ， ，
∴当 时，周长 的最大值为 ．
例2．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？
解：设 小时后 行驶到点 ， 行驶到点 ，则 ， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴
，
∴ 时 最小，最小值为 ，即两船行驶 小时相距最近。
五．课堂练习：教材 练习1，2
六．小结：1．能够运用函数的性质和数学知识解决某些简单的实际问题；
2．了解数学应用题的建模方法：
（1）认真审题，准确理解题意；
（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；
（3）根据实际情况确定定义域。
七．作业：习题2.9 第1，2，3题，
补充：
1.建筑一个容积为 ，深为 的长方体蓄水池，池壁的造价为 元/ ，池底的造价为 元/ ，把总造价 （元）表示为底的一边长 的函数。
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3.一个圆柱形容器的底部直径是 ，高是 ，现在以 / 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度 （ 与注入溶液的时间 之间的函数关系，并写出函数的定义域与值域。
4.有一批材料可以围成 长的围墙，现用此材料围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成两块矩形（如图），则围成的矩形场地面积的最大值为__________________.
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