§2.2.2对数函数及其性质 （第一、二课时）

§　2.2.2　对数函数及其性质（第一、二课时）　　

　 　

一．教学目标　　

1．知识技能　　

①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.　　

②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.　　

2．过程与方法　　

让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.　　

3．情感、态度与价值观　　

①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；　　

②培养学生严谨的科学态度.　　

二．学法与教学用具　　

1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；　　

2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．　　

三．教学重点、难点　　

1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.　　

2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.　　

四．教学过程　　

    1．设置情境　　

在2．2．1的例6中，考古学家利用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C₁₄含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代　 　　　与之对应．同理，对于每一个对数式　 　　　中的　 　　　，任取一个正的实数值，　 　　　均有唯一的值与之对应，所以　 　　　的函数．　　

2．探索新知　　

    一般地，我们把函数　 　　　（　 　　　＞0且　 　　　≠1）叫做对数函数，其中　 　　　是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．　　

提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定　 　　　＞0且　 　　　≠1．　　

（2）．为什么对数函数　 　　　（　 　　　＞0且　 　　　≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.　　

答：①根据对数与指数式的关系，知　 　　　可化为　 　　　，由指数的概念，要使　 　　　有意义，必须规定　 　　　＞0且　 　　　≠1．　　

②因为　 　　　可化为　 　　　，不管　 　　　取什么值，由指数函数的性质，　 　　　＞0，所以　 　　　．　　

例题1：求下列函数的定义域　　

（1）　 　　　        （2）　 　　　      （　 　　　＞0且　 　　　≠1）　　

分析：由对数函数的定义知：　 　　　＞0；　 　　　＞0，解出不等式就可求出定义域．　　

解：（1）因为　 　　　＞0，即　 　　　≠0，所以函数　 　　　的定义域为　 　　　.　　

（2）因为　 　　　＞0，即　 　　　＜4，所以函数　 　　　的定义域为　 　　　＜　 　　　.　　

下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：　　

先完成P₈₁表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数　 　　　 再利用电脑软件画出　 　　　  　　

    　　

		1	2	4	6	8	12	16
	－1	0	1	2	2.58	3	3.58	4

　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y　　

　　　　　　　

　 　

　　　　　　　　　　　　　 　

　 　

　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　x　　

　 　

　 　

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

　 　

    注意到：　 　　　，若点　 　　　的图象上，则点　 　　　的图象上. 由于（　 　　　）与（　 　　　）关于　 　　　轴对称，因此，　 　　　的图象与　 　　　的图象关于　 　　　轴对称 . 所以，由此我们可以画出　 　　　的图象 .　　

   先由学生自己画出　 　　　的图象，再由电脑软件画出　 　　　与　 　　　的图象.　　

探究：选取底数　 　　　＞0，且　 　　　≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？　　

　　　　　　　　

.作法：用多媒体再画出　 　　　，　 　　　，　 　　　和　 　　　　　

　　

0

　　 　　 　　 　　　　　　

提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？　　

先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)　　

　 　

图象的特征	函数的性质
（1）图象都在　 　　　轴的右边	（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点	（2）1的对数是0
（3）从左往右看，当　 　　　＞1时，图象逐渐上升，当0＜　 　　　＜1时，图象逐渐下降 .	（3）当　 　　　＞1时，　 　　　是增函数，当　　 0＜　 　　　＜1时，　 　　　是减函数.
（4）当　 　　　＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜　 　　　＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .	（4）当　 　　　＞1时　　      　　　　＞1，则　 　　　＞0　　      0＜　 　　　＜1，　 　　　＜0　　 当0＜　 　　　＜1时　　      　　　　＞1，则　 　　　＜0　　      0＜　 　　　＜1，　 　　　＜0

由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：　　

	＞1	0＜　 　　　＜1
图　　 象
性　　 质	（1）定义域（0，+∞）；　　 （2）值域R；　　 （3）过点（1，0），即当　 　　　=1，　 　　　=0；
	（4）在（0，+∞）上是增函数	在（0，+∞）是上减函数

例题训练：　　

    1. 比较下列各组数中的两个值大小　　

（1）　 　　　     　　

（2）　 　　　　　

（3）　 　　　   （　 　　　＞0，且　 　　　≠1）　　

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：　　

（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数　 　　　的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：　　

所以，　 　　　　　

解法2：由函数　 　　　⁺上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以　 　　　.　　

解法3：直接用计算器计算得：　 　　　，　 　　　　　

（2）第（2）小题类似　　

（3）注：底数是常数，但要分类讨论　 　　　的范围，再由函数单调性判断大小.　　

解法1：当　 　　　＞1时，　 　　　在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.　　

所以，　 　　　　　　　　　　　　　

当　 　　　　　　　1时，　 　　　在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.　　

所以，　 　　　　　　　　　　　　　

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，　　

令 　　　　  令　 　　　 则　 　　　　　

当　 　　　＞1时，　 　　　在R上是增函数，且5.1＜5.9　　

所以，　 　　　＜　 　　　，即　 　　　＜　 　　　　　

当0＜　 　　　＜1时，　 　　　在R上是减函数，且5.1＞5.9　　

所以，　 　　　＜　 　　　，即　 　　　＞　 　　　　　

说明：先画图象，由数形结合方法解答　　

课堂练习：Ｐ_８５　　练习　　第２，３题　　

补充练习　　

1．已知函数　 　　　的定义域为[-1，1]，则函数　 　　　的定义域为     　　

2．求函数　 　　　的值域.　　

3．已知　 　　　＜　 　　　＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1　　

4．已知0＜　 　　　＜1,  b＞1,  ab＞1.   比较　 　　　　　

归纳小结：　　

②     对数函数的概念必要性与重要性;　　

②对数函数的性质，列表展现.