球的体积和表面积

§1.3.2  球的体积和表面积

一. 教学目标

１．  知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分

割——求和——取极限化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２．  过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式 和面积公式 的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想（微分法）。

３．  情感与价值观

　　通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二.   教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三.   学法和教学用具

１．  学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值　　　　的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２．  教学用具：投影仪

四.   教学设计

（一）创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

 

步骤：

第一步：分割

　如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆片”的底面。

如图：得

第二步：求和

第三步：取极限——化为准确的和

　　当n→∞时， →0  （同学们讨论得出）

所以  

得到公式：半径是Ｒ的球的体积

2. 简单应用：

例1、一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm³)

例2、利用球的体积公式——求球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？

 

设球 的半径为 ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用 表示，则球的表面积:

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积 可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径 近似地等于小棱锥的高 ，因此，第 个小棱锥的体积 ，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，     

于是球的体积:

，

又∵ ，且

∴可得 ，

又∵ ，∴ ，

∴ 即为球的表面积公式

（三）典例分析

1、课本P31 例4；

2、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是           。

3、（顶尖数学P23，例3）已知一个球内切于圆锥，求证它们的全面积之比等于它们的体积之比。

注：针对顶尖数学作业而设，方法是作出轴截面。

（四）巩固练习

1、课本P32 练习1、2、3

2、正方形的内切球和外接球的体积的比为           ，表面积比为           。

                                             （答案：   ；　3 ：1）

3、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm²和400πcm²，求球的表面积。  （答案：2500πcm²）

 

（五）课堂小结

了解球的体积和球的表面积公式的推导方法，掌握球的体积和表面积公式以及利用公式解决相关的球的问题.

（六）课后作业

  顶尖数学P23   1.3.2 球的体积和表面积