泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理
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泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理）2013-1-21
班级_______座号_______姓名_________
一、选择题（每题5分，共60分）
1.双曲线的渐近线方程是 （ ）
A. B. C. D.
2.若函数的图象的顶点在第四象限，则导函数的图象是 （ ）
3.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则 （ ）
A. B.
C. D.
4.定义运算,则符合条件的点的轨迹方程是 （ ）
A. B. C. D..
5.已知正四棱柱中 ，，为的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 （ ）
A.2 B. C. D.1
6.若＝在上是减函数，则的取值范围是 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 （ ）
A． 或2 B． C．2 D．
8.等比数列中，，函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 （ ）
A. B. C. D.
10.分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,,且的解集为 （ ）
A. B. C. D.
11.已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆 上，且满足（为坐标原点），, 则直线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
12.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 （ ）
A.当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
二、填空题(每题4分，共16分)
13.设＝有极大值和极小值，则的取值范围是 .
14．已知正方体的棱长为1，点在线段上．当最大时，三棱锥的体积为________．
15.已知直线与抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 ．
16．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为_______．
三、解答题（12×5+14＝74分）
17．（本小题满分12分）
设向量＝(3,5，－4)，＝(2,1,8)，计算,，以及与所成角的余弦值，并确定应满足的条件，使与轴垂直．
18．（本小题满分12分）
设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线 平行，导函数的最小值为
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值
19. （本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，在椭圆上存在A,B两点关于直线 对称。
（Ⅰ）若椭圆的右焦点到直线的距离为，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以为直径的圆恰好经过原点，求的值
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形， PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2， E是PC上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D-PBC的体积。
21．（本小题满分12分）
已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为 ．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）证明：无论取何实数时，，都是定值；
（Ⅲ）记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．
22. （本小题满分14分）
已知函数=.
(I)讨论的单调性；
（II）设＞0，证明：当0＜＜时，＞
（III）若函数＝的图象与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为0，
证明：＜0.
泉州七中高二年上学期期末模拟试卷（理）2013-1-21答案
一、选择题（每题5分，共60分）
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题号
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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答案
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A
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A
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C
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A
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D
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D
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B
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C
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C
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A
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A
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B
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二、填空题(每题4分，共16分)
13. 14． ________．15. P(4,－4) 16． ___ a≥1____．
三、解答题（12×5+14＝74分）
17．解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.
∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．解：（Ⅰ）∵为奇函数，∴
即 ∴…………………2分
∵的最小值为 ∴
又直线的斜率为 因此，
∴，， ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴，列表如下：
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单调递增
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极大
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单调递减
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极小
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单调递增
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所以函数的单调增区间是和…………8分
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是……………12
19. 解：（Ⅰ）设椭圆右焦点（）．
由到直线的距离， 解得．
由到直线的距离， 解得．
由，及，解得，．
所以椭圆的方程为．……5分
（Ⅱ）因为，所以，从而，可设椭圆．
因为，关于直线对称，可设直线的方程为．
由得．
设，，则，，……7分
若以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O，
则，即．
记的中点，则，所以．
又点在直线上，所以，解得，
所以，解得
经检验，当时，以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O．所以…………12分
因为，关于直线对称，可设直线的方程为．
由得．
设，，则，，……7分
若以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O，
则，即．
记的中点，则，所以．
又点在直线上，所以，解得，
所以，解得
经检验，当时，以为直径的圆恰好经过椭圆的原点O．所以…………12分
20．
21．解：(1)由条件知在直线上，即，
所以抛物线的方程为．………………3分
(2) 由 得.则.…………5分
则，即有定值，.………………8分
(3) 根据条件有．
由抛物线的定义得，………………9分
于是，，.………11分
……………12分
，
则有．………………14分
22. 解：(Ⅰ)的定义域为，
.
（ⅰ）若，则，所以在单调递增.
（ⅱ）若，则由得，且当时，，当时， ，
所以在单调递增，在单调递减. …5分
（Ⅱ）设函数，则，
.
当时，，而，所以.
故当时，. ……9分
（Ⅲ）由(Ⅰ)可得，当时，函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故，
从而的最大值为，且．
不妨设A（，０），B（，０），，则，
由（Ⅱ）得．
从而，于是． 由(Ⅰ)知，． ……14分