命题趋势

带电粒子在电场、磁场中的运动是中学物理中的重点内容，这类问题对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求，是考查考生多项能力的极好载体，因此历来是高考的热点，在实行了三年的理科综合能力测试中也是每年都考，且分值分别达18分、14分和20分，预计以后每年都不会低于10%的分值。

带电粒子在电场、磁场中的运动与现代科技密切相关，在近代物理实验中有重大意义，因此考题有可能以科学技术的具体问题为背景。

当定性讨论这类问题时，试题常以选择题的形式出现，定量讨论时常以填空题或计算题的形式出现，计算题还常常成为试卷的压轴题。

知识概要

带电粒子在电场、磁场中的运动可分为下列几种情况

半径公式：      周期公式：

带电粒子在电场磁场中的运动

带电粒子在电场中的运动

带电粒子在磁场中的运动

带电粒子在复合场中的运动

直线运动：如用电场加速或减速粒子 偏转：类似平抛运动，一般分解成两个分运动求解 圆周运动：以点电荷为圆心运动或受装置约束运动

直线运动（当带电粒子的速度与磁场平行时） 圆周运动（当带电粒子的速度与磁场垂直时）

直线运动：垂直运动方向的力必定平衡 圆周运动：重力与电场力一定平衡，由洛伦兹力提供向心力 一般的曲线运动

带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动，简称带电粒子在复合场中的运动，一般具有较复杂的运动图景。这类问题本质上是一个力学问题，应顺应力学问题的研究思路和运用力学的基本规律。

分析带电粒子在电场、磁场中运动，主要是两条线索：

（1）力和运动的关系。根据带电粒子所受的力，运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解。

（2）功能关系。根据场力及其它外力对带电粒子做功引起的能量变化或全过程中的功能关系，从而可确定带电粒子的运动情况，这条线索不但适用于均匀场，也适用于非均匀场。因此要熟悉各种力做功的特点。

处理带电粒子在场中的运动问题应注意是否考虑带电粒子的重力。这要依据具体情况而定，质子、α粒子、离子等微观粒子，一般不考虑重力；液滴、尘埃、小球等宏观带电粒子由题设条件决定，一般把装置在空间的方位介绍的很明确的，都应考虑重力，有时还应根据题目的隐含条件来判断。

处理带电粒子在电场、磁场中的运动，还应画好示意图，在画图的基础上特别注意运用几何知识寻找关系。

点拨解疑

【例题1】（1999年高考全国卷）如图1所示，图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。

（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；

（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。

      

【点拨解疑】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律得

，则

（2）如图2所示，以OP为弦可以画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨迹。圆心分别为O₁、O₂，过O点的直径分别为OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O点处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知， ，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q₁P=Rθ，粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ₂=Rθ

粒子1的运动时间为 ，其中T为圆周运动的周期。

粒子2运动的时间为

两粒子射入的时间间隔为 

因为     所以

有上述算式可解得 

点评：解带电粒子在磁场中运动的题，除了运用常规的解题思路（画草图、找“圆心”、定“半径”）之外，更应侧重于运用数学知识进行分析。本题在众多的物理量和数学量中，角度是最关键的量，它既是建立几何量与物理量之间关系式的一个纽带，又是沟通几何图形与物理模型的桥梁。

【例题2】  如图3所示，在直角坐标系的第一、二象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第三象限有沿Y轴负方向的匀强电场，第四象限内无电场和磁场。质量为m、带电量为q的粒子从M点以速度v₀沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经N、P最后又回到M点。设OM=L，ON=2L，则：

关于电场强度E的大小，下列结论正确的是    （   ）

A．          B．            C．             D．

（2）匀强磁场的方向是               。

（3）磁感应强度B的大小是多少？

      

【点拨解疑】 （1）由带电粒子在电场中做类平抛运动，易知 ，且 则E=   故选C

（2）由左手定则，匀强磁场的方向为垂直纸面向里。

（3）根据粒子在电场中运动的情况可知，粒子带负电。粒子在电场中做类平抛运动，设到达N点的速度为v，运动方向与x轴负方向的夹角为θ，如图4所示。

由动能定理得

将（1）式中的E代入可得      所以θ=45°

粒子在磁场中做匀速圆周运动，经过P点时速度方向也与x轴负方向成45°角。

则OP=OM=L      NP=NO+OP=3L

粒子在磁场中的轨道半径为R=Npcos45°=      又

解得  

点评：带电粒子的复杂运动常常是由一些基本运动组合而成的。掌握基本运动的特点是解决这类问题的关键所在。该题中，粒子在匀强磁场中运动轨迹的圆心不在y轴上，注意到这一点是很关键的。

【例题3】  如图5所示，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中，半径为R的光滑绝缘竖直圆环上，套有一个带正电的小球，已知小球所受电场力与重力相等，小球在环顶端A点由静止释放，当小球运动的圆弧为周长的几分之几时，所受磁场力最大？

【点拨解疑】  小球下滑的过程中，要使磁场力最大，则需要速度最大。OC为与小球受到的重力、电场力的合力平行的半径。由功能关系寻找速度最大的点，因为洛伦兹力不做功，所以不考虑磁场的作用，从图中A到C，上述合力有切向分力，且与速度同向，因此做正功，小球动能增加；在C点时，该合力为径向，没有切向分力；此后切向分力与线速度反向，动能将减小；故在C点时速度最大，所受磁场力也最大。由受力分析知

mg=qE  mg=qEtanα  得α= 45°

由图知θ=α+90°=135°

故小球运动的弧长与周长之比为 ，

所以运动的弧长为周长的 。

点评：讨论带电粒子的运动，必须熟悉各种力做功的特点。该题也可用等效法处理。把电场和重力场合起来当作一个新的重力场，这个重力场的竖直方向与原水平方向成45°角斜向下，这样就很容易确定速度最大的点。

【例题4 】 从阴极K发射的电子经电势差U₀=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L₁=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L₂=75cm处放置一个直径D=20cm、带有纪录纸的圆筒。整个装置放在真空内，电子发射时的初速度不计，如图6所示，若在金属板上加一U =1000cos2πt V的交流电压，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2r/s匀速转动，分析电子在纪录纸上的轨迹形状并画

图6

出从t=0开始的1s内所纪录到的图形。

【点拨解疑】 对电子的加速过程，由动能定理得：

eU₀= mv₀²

得电子加速后的速度    v₀= =4.2×10⁷m/s

图7

电子进入偏转电场后，由于在其中运动的时间极短，可以忽略运动期间偏转电压的变化，认为电场是稳定的，因此电子做类平抛的运动。如图7所示。

交流电压在A、B两板间产生的电场强度      V/m

电子飞离金属板时的偏转距离  

电子飞离金属板时的竖直速度  

电子从飞离金属板到到达圆筒时的偏转距离  

所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏转距离为

图8

m

可见，在纪录纸上的点在竖直方向上以振幅0.20m、周期T=1s做简谐运动。因为圆筒每秒转2周，故转一周在纸上留下的是前半个余弦图形，接着的一周中，留下后半个图形，合起来，1s内，在纸上的图形如图8所示。

点评：偏转电场如果不稳定，电子在其中的运动将非常复杂，因此理想化处理是解答本题的关键。示波器是常用的电子仪器，其原理与该题的情景有相似之处。

针对训练

1．（2002年广西、河南、广东卷）在图9中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场。取坐标如图。一带电粒子沿x轴正方向进入此区域，在穿过此区域的过程中运动方向始终不发生偏转。不计重力的影响，电场强度E和磁感强度B的方向可能是（　　）

A． E和B都沿x轴正方向              B． E沿y轴正向，B沿z轴正向

C． E沿x轴正向，B沿y轴正向         D． E、B都沿z轴正向

 

B

A

B

d

v

v

300

O

图10

2．如图10所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是         ，穿透磁场的时间是          。

 

 

 

 

 

 

a

b

c

d

S

o

图11

3．（2000年全国卷）如图11所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

 

 

 

 

 

B

B

E

L

d

O

图12

4．如图12所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。

参考答案：

1．AB

解析：E和B都沿x轴正方向，由于带电粒子速度与磁感应强度B平行或反向平行，故不受磁场力只受电场力，而不论粒子带何种电荷，电场力与速度均共线，由此知粒子作直线运动，A正确。若E沿y轴正向则电场力沿y轴正向（带正电）或负向（带负电），而B沿z轴正向，则由左手定则知其所受洛仑兹力沿y轴负向（带正电）或正向（带负电），合外力可能为零，故B正确。若E沿z轴正向，则电场力沿z轴正向（带正电）或负向（带负电），B沿y轴正向，则洛仑兹力也沿z轴正向（带正电）或负向（带负电），合力不为零，且与速度不共线，粒子必然发生偏转，故C错。若E、B都沿z轴方向，则电场力也沿z轴方向，而洛仑兹力沿y轴方向，合力不为零，且与速度不共线，粒子必发生偏转，故D错。

2．解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f⊥v，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图10中的O点，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。

∴r=d/sin30°=2d，又由r=mv/Be得m=2dBe/v

又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3v。

3．解析：如图13所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为v，根据动能定理，有

a

b

c

d

S

o

图13

设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过 圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r。由以上各式解得

。

4．解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：  

带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： 

由以上两式，可得        。

可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图14所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO₁O₂O₃是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为

O

O3

O1

O2

图14

600

（2）在电场中   ，

在中间磁场中运动时间

在右侧磁场中运动时间 ，

则粒子第一次回到O点的所用时间为

。