含有字母系数的不等式的解法

含有字母系数的不等式的解法·教学案例

 泉州七中  林月理

 

教学目标

1．初步理解含有字母系数不等式求解的基本思路，并让学生了解使用分类讨论方法的起因．

2．培养学生分析、概括能力及运算能力．

3．提高学生思维的严谨性和深刻性．

教学重点与难点

教学重点：含有字母系数不等式的求解基本模式的形成．

教学难点：分类讨论方法的正确使用．

教学过程设计

（一）引入课题

师：我们已经研究了几类基本不等式的解法，今天研究在系数中含有参变数即含有字母系数的不等式的解法．

（板书：含有字母系数的不等式的解法）

（二）讲解新课

师：先从一个具体的例子说起．

（板书）

例1  解关于x的不等式．

（1）ax＜4．

师：先请同学们来试解一解．

师：下面请同学们讨论一下，以上两位同学做法哪个正确．

生：两种解法都有问题，甲没有讨论是不对的，乙虽然讨论了，但讨论的情况不全，所以都有问题．

师：为什么一定要讨论呢？要讨论又该怎样讨论呢？

生：因为不知道a的正负，所以除以a后不知道不等号方向是否发生改变，因此需要讨论．

师：如果能把问题说得再透一点儿，从根源上讲，解关于x的不等式即求出x＜（＞）m的一个不等式，因此需对所给不等式进行变换，而变换为保证等价必须依据不等式的性质，就这个不等式而言，应根据不等式哪条性质呢？

师：由此要解出x就必须看a的符号，对于字母a来说，它的符号有几种可能呢？

生：有三种可能，大于零，等于零，小于零．

师：此题需对a的符号进行讨论，且应分为三种情况进行讨论，显然解法二的错误在于讨论不全面，经过我们的共同讨论，正确的解法应该有了，找个同学试说一下．

当a=0时，原不等式解为x∈R．

师：对于这种类型不等式有了初步了解，下面请看第（2）小题．

（板书）（2）mx＞n．

（请学生思考片刻，并提示注意字母n带来的变化）

当m=0时，原不等式的解不确定．

师：不确定是什么意思．

生：解的情况由n来决定，具体说在m=0前提下，原不等式变形为0·x＞n．

当n＞0时，原不等式无解；当n=0时，原不等式无解；当n＜0时，原不等式解为x∈R．

师：对于前半部分的讨论，理由同第（1）题是一样的，把它称为一级讨论，对于后半部分的讨论是在一级讨论某种情况下的讨论，称为二级讨论．讨论的原因是此时不等式需对0和n的大小进行比较，自然需要研究n的符号．即分三种情况进行讨论，下面找一个同学把此题完整地解出来．

等式解为x∈R．

师：形如ax b的不等式是含有字母系数的关于x的不等式的基本模式，解决这类问题分类讨论是不可少的方法，使用这种方法要注意使用的起因，此题使用分类讨论的起因是对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．

对于含有字母系数的不等式在求解中还会遇到什么样的问题，一起看例2．

（板书）

例2  解关于x的不等式：x²-（a＋a²）x+a³＞0．

（给学生片刻思考，稍作研究再让学生说想法）

师：拿到此题有什么想法？

生：这是一个关于x的一元二次不等式，求解的方法一般是先找到相应的一元二次方程的两个根，再利用二次函数图象找出是两根间还是两根外．

师：相应的方程是x²-（a²＋a）x＋a³=0，它的两个根是什么呢？

生：是a和a²．

师：可以得到不等式的解吗？

生：是x＞a2或x＜a．

师：答案有什么问题吗？

生：有问题，不一定a2比a大，应对a2和a的大小关系进行讨论．

师：这一点是解决这个题目的关键．由于需要对相应方程两根的大小作比较，而需进行分类讨论．具体应怎样讨论．

生：讨论a²和a的大小，可以利用比较法转化为a²与a的差与0的

师：根据刚才的讨论，把题目完整地解出来．

生：解：原不等式（x-a）（x-a²）＞0．

当a＜0或a＞1时，a²＞a，原不等式解集为｛x＜a或x＞a²｝；当0＜a＜1时，a²＜a，原不等式解集为｛x|x＜a²或x＞a｝．

当a=0或a=1时，a²=a，原不等式解集为｛x|x∈R且x≠a｝．

师：对于这种类型的不等式也常常用到分类讨论这种方法，但是使用的原因与例1是不同的，它是由于对不等式作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．当然这类关于x的不等式的一般情形应是a（x-b）（x-c）＞0．至于它的求解问题，在例2的基础上，让同学们自己课下解决．

以上两个例题都属于含有字母系数的不等式的基本模式，通过它们的求解，主要了解分类讨论的这种方法在求解过程中怎样适时、适当的使用．

对这件事是否理解了，请同学们自己做几个题目．

（三）巩固练习

（板书）

练习：解关于x的不等式：

（1）a（x-a）（x＋2a）＞0；（2）log_a（x²-x-2）＞

（先让全体学生在笔记本上完成，教师巡视待学生基本完成，根据学生完成情况，有针对性选择两名学生，将自己的答案写在黑板上）

（板书）

（1）解：当a=0时，原不等式的解集为 ；

当a＞0时，原不等式 （x-a）（x＋2a）＞0，且a＞-2a，故原不等式解集为｛x|x＜-2a或x＞a｝；

当a＜0时，原不等式 （x-a）（x+2a）＜0且-2a＞a，故原不等式解集为｛x|a＜x＜-2a｝．

（2）解：原不等式 log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）．

当a＞1时，原不等式 x²-x-2＞4x-6 x²-5x＋4＞0

x＞4或x＜1；

当0＜a＜1时，原不等式 x²-x-2＜4x-6 x²-5x+4＜0

1＜x＜4．

所以原不等式解集为（4，+∞）∪（-∞，1）∪（1，4）．

师：下面看看黑板上两位同学的表述有什么问题，先看第（1）题．

（经过学生们共同议论，一致认为第（1）小题表述没有问题，此时教师再对此题关键部分作出小结）

师：解决此题的关键，一是对x前面系数a的讨论，二是相应方程两个根a和-2a的大小的讨论，而这二者的讨论最终都统一为a与0的大小关系的讨论．故此题应分为三种情况进行讨论，且当a的符号确定之后，不等式可等价化简为（x-b）（x-c）＞0的形式进行求解．

下面再看第（2）小题的表述有什么问题．

生：对数不等式的求解必须先保证真数有意义，所以实际应该解不等式组即

师：好，这一点非常重要，在解对数不等式时，应首先保证题目中的对数式有意义，即真数大于零且底数大于零不等于1，这一点我们在解对数不等式时已经强调过了，今天再次重申这一点，希望引起大家重视．

如果这样求解不等式，解应该是什么呢？

师：在具体求解过程中，注意到根据不等式性质，可以等价省去一个不等式以简化计算过程，这一点很好．

此外，这个题目它也用到了分类讨论，这里使用的原因是什么呢？

生：解对数不等式需将其转化为代数不等式，需利用对数函数f（x）=logax的增减性，其增减性是以a＞1和0＜a＜1加以区分的．因此需讨论，且讨论a的两种情况即可．

师：这个题目也同样用到了分类讨论这种方法，但使用的原因与以前有所不同，它是由于对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的，这是我们应该引起注意并加以总结的．

除此之外在整个求解过程中还有没有问题？

（让学生议论一下，稍作停顿）

生：我觉得最后结果不应该把两种情况的结论并在一起．

师：能说说理由吗？

生：这个题目的讨论是对字母a展开的，相当于代表了无数多个不等式的求解问题，所以不同不等式的解不应合并在一起．因此最后结论不能并．

师：这一点谈得很好，也最为重要，对字母a的讨论与对x的讨论是完全不同的，对字母a的讨论，由于a的变化，将代表无数多个不等

由于对数函数性质可以将它们分成两类来解决，所以不能将它们解集并在一起，但对x的讨论是对一个题目分成几部分来研究．每一部分都是这个题目解的一部分，因此最终将每一部分的解并在一起才是此题的解．

为了便于对比，不妨举个简单的例子：

（3）解不等式：log_（x-1）（x＋1）＞0．

师：这个不等式应该怎样解呢？

生：原不等式

（在学生叙述过程中，要求能说出每一个不等式的由来如x＋1＞0为保证真数有意义，而对x-1来说应在大于零且不等于1的范围内进行讨论．分为x-1＞1和0＜x-1＜1两种情况）

师：这个题目同样也用到了分类讨论这种方法，但它是对未知数x进行讨论，虽然使用的起因是相同的（都是由函数单调性的可能变化引起），但与对字母系数的讨论在处理上是有区别的．

经过我们研究讨论第（2）题的最终结果不应取并，应分别作答，即应写成．

（板书）接前面过程后给出最后结果：

当a＞1时，原不等式解集为（4，＋∞）；当0＜a＜1时，原不等式解集为（2，4）．

（四）小结

师：（1）通过以上几个题目，对一般的含字母系数的不等式的求解思路有了基本了解．其中对这个字母的可能取值作分类讨论需作好充分的准备．

（2）这种准备体现为对分类讨论的使用需解决好①何时讨论，②讨论什么，③怎么讨论，这几个重要环节．

（3）何时讨论也就是为什么要讨论这件事主要是解决引起讨论的几种重要原因．

（4）对分类讨论这种方法认识清楚了，才能在给定不等式的等价变换过程中适时，适当地使用，才能准确有效地解决更为复杂的含有字母系数的不等式或不等式组．

（五）布置作业

1．解关于x的不等式：（a²-1）x＞（a²+3a＋2）（b-3）．

习题略解：

1．原不等式 （a＋1）（a-1）x＞（a＋1）（a+2）（b-3）．

当a=-1，b∈R或a=1且b≥3时，原不等式的解集为 ；

当a=1且b＜3时，原不等式解集为R．

反思：

这节课是对不等式求解综合深入研究的课题之一．因此这节课教学设计时重在对各类不等式求解过程中一些重要思想方法的应用和理解．

含有字母系数的不等式的求解，分类讨论这种思想方法是必不可少的．很多学生只是知道遇到这类不等式要讨论，而不了解讨论的原因．因此在使用时也是盲目的．如解关于x的不等式：3-2a²x＞x；对此不等式进行等价变形后得到（2a²＋1）x＜3．由于2a²＋1恒为正，根据

2a²+1或对a的符号进行讨论，出现不应有的错误．出现这些问题的症结在于对含有字母系数的不等式求解基本思路没掌握，对分类讨论这种方法使用的原因不清楚．所以只有从根本上解决求解思路，对分类讨论方法的使用做全面细致深入的研究才能使学生能得心应手进行求解，这也是这节课最核心的内容，为此在例题选择上重在突出思路和方法，而不在于题目有多难，讨论有多复杂．例1和例2就都选择了含有字母系数的不等式中最基本的模式，这样可以尽量减少干扰因素，以突出主要矛盾．

本节课的练习在安排上有两层含义：一方面巩固前面所学内容，发现问题，解决问题；另一方面也是对分类讨论这种思想方法的深化，是新课的延续，特别是第（2）个练习题，在解答中，不怕学生出错，而是通过分析学生的错误，以巩固对数不等式求解方法，发现分类讨论方法使用的原因，对比此法在不同场合下使用，加深对此法的理解，讲与练自然结合，练中有讲，讲中有练．在讲与练的相互作用下使学生的思维逐步深化．

一节课的教学内容，带给学生的不仅仅是一点方法和技巧，更重要的是思维能力的训练与提高，教师应把它作为主导思想贯穿于每一节课的教学设计之中．