§曲线的轨迹方程的求法

§曲线的轨迹方程的求法　　

【知识梳理】

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　

(1)直接法  直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程　 　　　　　  　　

(2)定义法  若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求　 　　　　　  　　

(3)相关点法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程　 　　　　　  　　

(4)参数法  若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程　 　　　　　  　　

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性　 　　　　　  要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念　 　　　　　  　　

【强化练习】　　

1　 　　　　　  已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是(    )　　

A　 　　　　　  圆                  B　 　　　　　  椭圆      C　 　　　　　  双曲线的一支     D　 　　　　　  抛物线　　

2　 　　　　　  设A₁、A₂是椭圆　 　　　=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A　₁A　₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为(    )　　

A　 　　　　　  　　　　          B　 　　　　　  　　　　          C　 　　　　　  　　　　          D　 　　　　　  　　　　　　

3　 　　　　　  △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－　 　　　,0),C(　 　　　,0)，且满足条件sinC－sinB=　 　　　sinA,则动点A的轨迹方程为_________　 　　　　　  　　

4　 　　　　　  双曲线　 　　　=1的实轴为A　₁A　₂，点P是双曲线上的一个动点，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q与A₂Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程　 　　　　　 

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　5　 　　　　　  已知双曲线　 　　　=1(m＞0,n＞0)的顶点为A₁、A₂，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q　 　　　　　  　　

(1)求直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹方程；　　

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、离心率　 　　　　　  　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　6　 　　　　　  已知椭圆　 　　　=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R　 　　　　　   　　

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；　　

(2)设点R形成的曲线为C，直线l　 　　　　　  y=k(x+　 　　　a)与曲线C　　

相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值　 　　　　　  　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　7. 如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程　 　　　　　   　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　　　

8. 设点A和B为抛物线 y²=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，　　

已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线　 　　　　　  　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

9. 某检验员通常用一个直径为　2 cm　和一个直径为　1 cm　的标准圆柱，检测一个直径为　3 cm　的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

10. 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线　 　　　　　  　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

l1

　　　　

l2

　　　　　

N

　　　　

B

　　　　

A

　　　　

M

　　　11. （1998理）如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN是锐角三角形，|AM|=　 　　　，|AN|=3且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程。思路1：先判断曲线类型，后求方程。　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

12.   如图，在直角坐标系中，已知矩形OABC的边长分别为OA=a，CO=b，点D在AO延长线上，　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

N

　　　　

O

　　　　

A

　　　　

x

　　　　

D

　　　　

M

　　　　

P

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

y

　　　DO=a，设M、N分别是OC、BC边上的动点，且　 　　　，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　13. （福建2004）如图，P是抛物线C：y=　 　　　x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. 若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求　 　　　的取值范围.　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

14. 已知点G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|　 　　　|=|　 　　　|，　 　　　 (　 　　　∈R)．　　

⑴求点C的轨迹方程； 　　

⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|　 　　　|=|　 　　　|，试求k的取值范围．　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

§曲线的轨迹方程的求法——参考解答　　

1　 　　　　　  解析　 　　　　　  ∵|PF₁|+|PF₂|=　2a　,|PQ|=|PF₂|,∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=　2a　,　　

即|F₁Q|=　2a　,∴动点Q到定点F₁的距离等于定长　2a　,故动点Q的轨迹是圆　 　　　　　  答案　 　　　　　  A　　

2　 　　　　　  解析　 　　　　　  设交点P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)　　

∵A₁、P₁、P共线，∴　 　　　;    ∵A₂、P₂、P共线，∴　 　　　　　

解得x₀=　 　　　   答案　 　　　　　  C　　

3　 　　　　　  解析　 　　　　　  由sinC－sinB=　 　　　sinA,得c－b=　 　　　a,∴应为双曲线一支，且实轴长为　 　　　,　　

故方程为　 　　　　　　　　　  答案　 　　　　　  　　　　　　

4　 　　　　　解　 　　　　　  设P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y)　 　　　　　  ∵A₁(－a,0),A₂(a,0)　 　　　　　  　　

由条件　 　　　　　

而点P(x₀,y₀)在双曲线上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b²　 　　　　　  即b²(－x²)－a²(　 　　　)²=a²b²　　

化简得Q点的轨迹方程为　 　　　　　  a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a)　 　　　　　  　　

　 　

5. 解　 　　　　　  (1)设P点的坐标为(x₁,y₁)，则Q点坐标为(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),　　

　　　　　　则A₁P的方程为　 　　　　　  y=　 　　　            ①　　

A₂Q的方程为　 　　　　　  y=－　 　　　            ②　　

①×②得　 　　　　　  y²=－　 　　　               ③　　

又因点P在双曲线上，故　 　　　　　

代入③并整理得　 　　　=1　 　　　　　  此即为M的轨迹方程　 　　　　　 

(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆　 　　　　　  　　

　　　　　　(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±　 　　　,0)，离心率e=　 　　　；　　

(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±　 　　　),离心率e=　 　　　　　　　　　  　　

6. 解　 　　　　　  (1)∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|　　

又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0)　 　　　　　  　　

　　　　　　|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=　2a　,则(x₁+c)²+y₁²=(　2a　)²　 　　　　　  　　

又　 　　　得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀　 　　　　　  ∴(2x₀)²+(2y₀)²=(　2a　)²，∴x₀²+y₀²=a²　 　　　　　  　　

故R的轨迹方程为　 　　　　　  x²+y²=a²(y≠0)　　

(2)如右图，∵S_△AOB=　 　　　|OA|·|OB|·sinAOB=　 　　　sinAOB　　

当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为　 　　　a²　 　　　　　  此时弦心距|OC|=　 　　　　　　　　　  　　

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，　 　　　　　

　　　　　　7. 解　 　　　　　  设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|　 　　　　　  　　

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理　 　　　　　 

在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)　　

又|AR|=|PR|=　 　　　所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0　　

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动　 　　　　　  　　

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=　 　　　,　　

代入方程x²+y²－4x－10=0,得　 　　　－10=0　　

整理得　 　　　　　  x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程　 　　　　　  　　

　 　

　　　　8. 解法一　 　　　　　  设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(x,y) (x≠0),  直线AB的方程为x=my+a  由OM⊥AB，得m=－　 　　　　　

由y²=4px及x=my+a，消去x,得y²－4pmy－4pa=0　　

所以y₁y₂=－4pa, x₁x₂=　 　　　　　

所以，由OA⊥OB，得x₁x₂ =－y₁y₂   所以　 　　　　　

故x=my+4p,用m=－　 　　　代入，得x²+y²－4px=0(x≠0)　　

故动点M的轨迹方程为x²+y²－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点　 　　　　　  　　

　 　

9. 解　 　　　　　  设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切　 　　　　　   

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1　 　　　　　  5－r)=2　 　　　　　  5　　

　　　　∴点P在以A、O为焦点，长轴长2　 　　　　　  5的椭圆上，　　

其方程为　 　　　=1              ①　　

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，　　

其方程为(x－　 　　　)²+　 　　　y²=1                  ②　　

由①、②可解得　 　　　，∴r=　 　　　  故所求圆柱的直径为　 　　　 cm　 　　　　　  　　

　 　

　　　　　　10.解　 　　　　　  建立坐标系如图所示，设|AB|=　2a　,则A(－a,0）,B(a,0)　 　　　　　  　　

设M(x,y）是轨迹上任意一点　 　　　　　  　　

则由题设，得　 　　　=λ,坐标代入，得　 　　　=λ,化简得　　

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+　2a　(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0　　

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)　 　　　　　  　　

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x²+y²+　 　　　x+a²=0　 　　　　　  点M的轨迹是以(－　 　　　，0）为圆心，　 　　　为半径的圆　 　　　　　  　　

　 　

11.解：分别以l₁、l₂为x轴、y轴，M为原点   建立如图2所示平面直角坐标系。　　

作AE⊥x轴，AD⊥y轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，D，F。设A（x_A,y_A）,B(x_B,y_B)，N（x_N,0）　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

l1

　　　　

l2

　　　　　

N

　　　　

B

　　　　

A

　　　　

M

　　　依题意有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3　　

y_A=|DM|=　 　　　，由于△AMN为锐角三角形，　　

故有　 　　　  　　

x_B=|BF|=|BN|=6.　　

设点P（x,y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合　　

{(x,y)| (x - x_N)²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y>0}　　

 故所求曲线段C的方程为y²=8(x-2)   (3≤x≤6，y>0)　　

　 　

12.   解：设　 　　　 　 　　　,   则　 　　　　　

则M（0，　 　　　），N（　 　　　，b），　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

N

　　　　

O

　　　　

A

　　　　

x

　　　　

D

　　　　

M

　　　　

P

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

y

　　　于是直线DM方程为　 　　　  ……①　　

直线AN方程为　 　　　……②  　　

由①、②消去λ得  y²=　 　　　　　

整理得 直线DM与AN的交点P的轨迹方程　 　　　  （0<x<a，0<y<b）　　

13.解：设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).

分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，

　　　　　　则　 　　　　　　　.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      y=　 　　　x²

由            消去x，得y²–2(k²+b)y+b²=0.      ③

     y=kx+b

　　     y₁+y₂=2(k²+b)，

则

     y₁y₂=b².

方法一：∴　 　　　|b|(　 　　　)≥2|b|　 　　　=2|b|　 　　　=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，∴　 　　　的取值范围是（2，+　 　　　）.

方法二：由P、Q、T三点共线得k_TQ=K_TP，即　 　　　=　 　　　.

则x₁y₂–bx₁=x₂y₁–bx₂，即b(x₂–x₁)=(x₂y₁–x₁y₂).  于是b=　 　　　= –　 　　　x₁x₂.

∴　 　　　=　 　　　=　 　　　+　 　　　=　 　　　+　 　　　≥2.

∵　 　　　可取一切不等于1的正数，∴　 　　　的取值范围是（2，+　 　　　）.　　

14．[解析] ⑴设C(x, y)，则G(　 　　　,　 　　　)．∵　 　　　(　 　　　∈R)，∴GM//AB,　　

又M是x轴上一点，则M(　 　　　, 0)．又|　 　　　|=|　 　　　|，∴　 　　　，　　

整理得　 　　　，即为曲线C的方程．　　

⑵①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|　 　　　|=|　 　　　|．　　

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，　　

　　联立方程组    y=kx＋m　　

　　　　  消去y，整理行(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)=0（*）　　

∵直线l和椭圆C交于不同两点，∴△=(　6km　)²－4(1＋3k²)×( m²－1)＞0，　　

即1＋3k²－m²＞0．                    (1)    

设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，则x₁, x₂是方程（*）的两相异实根，　　

∴x₁＋x₂=－　 　　　  则PQ的中点N(x₀, y₀)的坐标是　　

x₀=　 　　　=－　 　　　，y₀= k x₀＋m=　 　　　，　　

即N(－　 　　　, 　　　　)，又|　 　　　|=|　 　　　|，∴　 　　　⊥　 　　　，　　

∴k·k_AN=k·　 　　　=－1，∴m=　 　　　.将m=　 　　　代入(1)式,　　

得 1＋3k²－(　 　　　)²＞0（k≠0），即k²＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．　　

综合①②得，k的取值范围是(－1, 1)．