泉州七中2009-2010学年上高二理科数学期末模拟卷(2) 2010-1-26
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泉州七中2009-2010学年上高二理科数学期末模拟卷(2) 2010-1-26
班级 座号 姓名 成绩
一、选择题（50）
1．设 ，则 是 的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设 ,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A． B． C． D．
3．在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列 中，若 ，且 则 为（ ）
A． B． C． D． 或 或
5．设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（ · ） －（ · ） = ②| |－| |<| － | ③（ · ） －（ · ） 不与 垂直④（3 +2 ）（3 －2 ）=9| |2－4| |2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
6. 与曲线 相切于P 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆 =1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
8．已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
9．如果实数 满足 ,则 有 ( )
A．最小值 和最大值1 B．最大值1和最小值
C．最小值 而无最大值 D．最大值1而无最小值
10. 直三棱住A1B 1C 1—ABC，∠BCA= ，点D1、F1 分别是A1B1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
（A ） （B） （C） （D）
二、填空题（20）
11. 已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6， ⊥ ，则x+y的值是
12．等比数列 前 项的和为 ，则数列 前 项的和为________
13．设实数 满足 ，则 的取值范围是_________
14. 已知函数 则 的值为
15．已知抛物线y2=4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是
三、解答题
16.设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M ［1，4］，求实数a的取值范围？
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图6 |
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图7 |
(Ⅱ) 求二面角 的大小;
（Ⅲ）线段PA上是否存在一点Q，使得 ？若存在，请求出 的值。
18.已知点 和 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长．
19.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x 10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）
20.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足：an+2－2an+1＋an＝0（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．
21.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值．
泉州七中2009-2010学年上高二理科数学期末模拟卷(2)参考答案
1-10 ACADD DADBA
11．－3或1 12。 13。 14。-20 15。32
16.解：（1）M ［1，4］有两种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；
其二是M≠ ，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－ 2a )2－4(a+2)=4(a2－a－2)
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= ［1，4］；
当Δ=0时，a=－1或2；
当a=－1时M={－1} ［1，4］；当a=2时，m={2} ［1，4］。
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M ［1，4］ 1≤x1＜x2≤4 ，
即 ，解得2＜a＜ ，∴M ［1，4］时，a的取值范围是(－1， ).
17. 解:(Ⅰ) 证明:如图以D为原点,以
为方向向量建立空间直角坐标系 .
则有关点及向量的坐标为:
设平面EFG的法向量为
取 .
∵ , 又 平面EFG.
AP//平面EFG.
(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形 ,又∵ 面ABCD
又 平面PCD,
向量 是平面PCD的一个法向量, =(2,0,0)
又由(Ⅰ)知平面EFG的法向量为
结合图知二面角 的平面角为
(Ⅲ)
18. 解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为 ．
联立 得 ．设 ， ，
则 ．
所以 ．
故线段DE的长为 ．
19. 解：设楼房每平方米的平均综合费用为 元，依题意得
当且仅当 ，即x=15时，“=”成立。
因此，当 时， 取得最小值， 元.
20. 解：（Ⅰ）∵an+2－2an+1＋an＝0，∴an+2－an+1＝an+1－an（n∈N*），
∴{an}是等差数列，设公差为d，
∵a1＝8，a4＝a1＋3d＝8＋3d＝2，∴d＝－2，
∴an＝8＋（n－1）·（－2）＝10－2n．
（Ⅱ）
假设存在整数m满足 总成立，
又
∴数列{ }是单调递增的， ∴ 为 的最小值，故 ，即m＜8，
又m∈N*，∴适合条件的m的最大值为7．
21. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，
则直线AB的方程为 ，代入 ，
化简得 .
设A（ ），B ），则
由 与 共线，
得 又 ，
即 ，所以 ，
故离心率
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，所以椭圆 可化为
设 ，由已知得
在椭圆上，
即 ①
由（Ⅰ）知
又 ，代入①得
故 为定值，定值为1.