幂函数

环节　　

教学内容设计　　

师生双边互动　　

创　　

设　　

情　　

境　　

阅读教材P₉₀的具体实例（1）~（5），思考下列问题：

1．它们的对应法则分别是什么？

2．以上问题中的函数有什么共同特征？

（答案）

1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．

2．上述问题中涉及到的函数，都是形如　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的函数，其中　 　　　是自变量，是　 　　　常数．

生：独立思考完成引例．

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．

组　　

织　　

探　　

究　　

材料一：幂函数定义及其图象．

一般地，形如

的函数称为幂函数，其中　 　　　为常数．

下面我们举例学习这类函数的一些性质．

作出下列函数的图象：

（1）　 　　　；（2）　 　　　；（3）　 　　　；

（4）　 　　　；（5）　 　　　．

[解] 1 列表（略）

2 图象

师：说明：

幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．

生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．

师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．

师生共同分析，强调画图象易犯的错误．

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师生双边互动　　

组　　

织　　

探　　

究　　

材料二：幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）　 　　　时，幂函数的图象通过原点，并且在区间　 　　　上是增函数．特别地，当　 　　　时，幂函数的图象下凸；当　 　　　时，幂函数的图象上凸；

（3）　 　　　时，幂函数的图象在区间　 　　　上是减函数．在第一象限内，当　 　　　从右边趋向原点时，图象在　 　　　轴右方无限地逼近　 　　　轴正半轴，当　 　　　趋于　 　　　时，图象在　 　　　轴上方无限地逼近　 　　　轴正半轴．

师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．

生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

材料三：观察与思考

观察图象，总结填写下表：

材料五：例题

[例1]　　

（教材P₉₂例题）

[例2]　　

 比较下列两个代数值的大小：

（1）　 　　　，　 　　　

（2）　 　　　，　 　　　

[例3] 讨论函数　 　　　的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．

并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．

生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．

环节　　

呈现教学材料　　

师生互动设计　　

尝　　

试　　

练　　

习　　

1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1）　 　　　，　 　　　；

（2）　 　　　，　 　　　；

（3）　 　　　，　 　　　；

（4）　 　　　，　 　　　．

2．作出函数　 　　　的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．

3．作出函数　 　　　和函数　 　　　的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．

4．用图象法解方程：

（1）　 　　　；     （2）　 　　　．

探　　

究　　

与　　

发　　

现　　

　　　　　　1．如图所示，曲线是幂函数　 　　　在第一象限内的图象，已知　 　　　分别取　 　　　四个值，则相应图象依次为：              ．

2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？

（1）　 　　　和　 　　　；

（2）　 　　　和　 　　　．

规律1：在第一象限，作直线　 　　　，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线　 　　　对称．

作业回馈　　

1．在函数　 　　　中，幂函数的个数为：

A．0      B．　　1 　    C　．2      D．3

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2．已知幂函数　 　　　的图象过点　 　　　，试求出这个函数的解析式．

3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．

（1）写出函数解析式；

（2）若气体在半径为　3cm　的管道中，流量速率为　400cm　³/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为　5cm　，计算该气体的流量速率．

4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：

（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；

（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

课　　

外　　

活　　

动　　

利用图形计算器探索一般幂函数　 　　　的图象随　 　　　的变化规律．

收　　

获　　

与　　

体　　

会　　

1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？

2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？