2．2 等差数列

【教案三】　　

2．2 等差数列　　

数学组   陈炳烈　　

（一）教学目标　　

1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。　　

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。　　

（二）教学重、难点　　

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。　　

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。　　

（三）学法与教学用具　　

学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。　　

教学用具：投影仪　　

　 　

（四）教学设想　　

[创设情景]　　

  上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。　　

[探索研究] 　　

由学生观察分析并得出答案：　　

（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……　　

2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。　　

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为　18cm　，自然放水每天水位降低　2.5m　，最低降至　5m　。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5　　

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：　　

时间	年初本金（元）	年末本利和（元）
第1年	10 000	10 072
第2年	10 000	10 144
第3年	10 000	10 216
第4年	10 000	10 288
第5年	10 000	10 360

各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。　　

思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……  ①　　

                                  48，53，58，63  ②　　

18，15.5，13，10.5，8，5.5  ③　　

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360  ④　　

看这些数列有什么共同特点呢？　　

（由学生讨论、分析）　　

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：　　

    对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5  ；　　

    对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5  ；　　

    对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5  ；　　

    对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72  ；　　

   由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。　　

 　　

[等差数列的概念]　　

   对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：　　

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。　　

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。　　

　 　

提问：如果在　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与　 　　　中间插入一个数A，使　 　　　，A，　 　　　成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：　　

A-a=b-A　　

                所以就有 　　　　　　

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。　　

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，　 　　　

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q

则  　　　　

　 　

[等差数列的通项公式]　　

对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。　　

⑴、我们是通过研究数列　 　　　的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。　　

由学生经过分析写出通项公式：　　

①     这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是　 　　　　　

②  这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是　 　　　　　

③  这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是　 　　　　　

④  这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是　 　　　　　

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项　 　　　和公差d，它的通项公式是什么呢？　　

  引导学生根据等差数列的定义进行归纳：　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                    　　　　　　

　　　　　　　　

（n-1）个等式

              　 　　　　　

    　　　　 　　

…　　

所以    　　　　　　

        　　　　　　

        　　　　　　

        ……　　

思考：那么通项公式到底如何表达呢？　　

　　　　　　

        　　　　　　

        　　　　　　

        ……　　

   得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以　 　　　为首项，d为公差的等差数列　 　　　的通项公式为：　 　　　　　

   也就是说，只要我们知道了等差数列的首项　 　　　和公差d，那么这个等差数列的通项　 　　　就可以表示出来了。　　

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：　　

（迭加法）： 　　　　是等差数列，所以  　　　　　　

                                   　　　　　　

                                   　　　　　　

                                   ……　　

                                 　 　　　　　

           两边分别相加得       　　　　　　

           所以                 　　　　　　

 （迭代法）：　 　　　是等差数列，则有  　　　　　　

                                     　　　　           　　

                                     　　　　　　

                                     　　　　　　

                                     　　　　　　

                                     ……　　

                                     　　　　　　

                     所以         　　　　　　

[例题分析]　　

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.　　

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？　　

分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；　　

      ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。　　

解：⑴由　 　　　=8，d=5-8=-3，n=20，得　 　　　　　

    ⑵由　 　　　=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为　 　　　由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。　　

    解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。　　

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于　 　　　、　 　　　、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。　　

（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？　　

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列　 　　　来计算车费.　　

   令　 　　　=11.2，表示　4km　处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至　14km　处时，n=11，此时需要支付车费　 　　　　　

 答：需要支付车费23.2元。　　

例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。　　

（放投影片）思考例题：例3 已知数列　 　　　的通项公式为　 　　　其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？　　

分析：判定　 　　　是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看　 　　　（n＞1）是不是一个与n无关的常数。　　

解：取数列　 　　　中的任意相邻两项　 　　　（n＞1），　　

求差得 　　　　　　

    它是一个与n无关的数.　　

所以　 　　　是等差数列。　　

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？　　

这个数列的首项　 　　　。由此我们可以知道对于通项公式是形如　 　　　的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.　　

例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。　　

　 　

[探究]　　

引导学生动手画图研究完成以下探究：　　

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为　 　　　的数列的图象。这个图象有什么特点？　　

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列　 　　　与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。　　

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的　 　　　可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；　　

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列　 　　　的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。　　

该处还可以引导学生从等差数列　 　　　中的p的几何意义去探究。　　

[随堂练习]　　

例1之后：课本45页“练习”第1题；　　

例2之后：课本45页“练习”第2题；　　

[课堂小结]　　

本节主要内容为：

①等差数列定义：即　 　　　(n≥2)

②等差数列通项公式：　 　　　　　　　(n≥1)

推导出公式：　 　　　

(五）评价设计　　

1、已知　 　　　是等差数列.　　

⑴ 　　　　是否成立？　 　　　呢？为什么？　　

⑵ 　　　　是否成立？据此你能得出什么结论？　　

   　　　　是否成立？据此你又能得出什么结论？　　

2、已知等差数列　 　　　的公差为d.求证：