两条直线的平行与垂直(3.1.2)

两条直线的平行与垂直(3.1.2)　　

教学目标

　 (一)知识教学　　

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.　　

(二)能力训练　　

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．　　

(三)学科渗透　　

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．　　

　 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．　　

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．　　

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．　　

　 教学过程　　

　 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直　　

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．　　

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直　　

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?　　

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)　　

∴tgα1=tgα2．　　

即　 k1=k2．　　

                                　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                     

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．　　

由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，　　

∴α1=α2．　　

又∵两条直线不重合，　　

∴L1∥L2．　　

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即　 　　　　　

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.　　

下面我们研究两条直线垂直的情形．　　

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．　　

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有　　

α1=90°+α2．　　

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．　　

　　　　　　　　　　

　　　　

　　　　 ，    　　　　 

可以推出　: α1=90°+α2．           L1⊥L2．　　

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即　 　　　　　

　　　　

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.　　

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).　　

例题　　

例1　 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.　　

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 　　

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,　　

因为   k1=k2=0.5, 所以   直线BA∥PQ.　　

　 　

例2  已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)　　

解同上.　　

例3         已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.　　

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,

         直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,　　

         因为   k1·k2 = -1  所以   AB⊥PQ.

例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.　　

     分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)　　

课堂练习　　

      P94   练习  1.   2.     　　

课后小结　　

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.　　

(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

布置作业　　

P94   习题3.1   5.   8.　　

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