线性规划教学案例
录入者：netlab 人气指数： 次 发布时间：2008年01月17日
线性规划教学案例 一、教学目标：
1.知识目标：准确确定二元一次不等式表示的平面区域；了解线性规划意义，并会简单的运用；能用线性规划的知识解决一些实际问题。
2.能力目标：提高学生的作图能力、实际应用能力，培养学生运动变化的数学思维。
二、教学重点：能准确确定二元一次不等式表示的平面区域；会求线性规划的最优解；
能用线性规划的知识解决一些实际问题。
教学难点：如何将实际问题转化为线性规划的问题，并给出解答。
三、教学工具：多媒体
四、教学过程：
（一）、线性区域问题
问题引入：在平面直坐标系中，满足方程x+y-1=0的点（x，y）的集合表示什么图形？不等式x+y-1＞0呢？x+y-1＜0呢？
师：前者表示直线，不等式分别表示直线的两侧的区域，如何判断不等式表示的区域是在直线的上（下）方？方法如下：
基础知识回顾：判断二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）表示区域的方法：
方法1、代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点（一般取原点），把它的坐标代入不等式，若符合不等式，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不符合，则在另一侧。（因为对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y），实数Ax+By+C的正负相同。）
方法2、B判别法：观察不等式中y的系数B和不等号，若Ｂ＞０，则不等式Ax+By+C＞0表示 的区域在直线Ax+By+C＝0的上方；不等式Ax+By+C＜0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方；若Ｂ＜０，则不等式Ax+By+C＞0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方；不等式Ax+By+C＜0表示的区域在直线Ax+By+C＝0的上方。（可以不用把不等式化成Ax+By+C＞0（〈0）的形式。）
补充：二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)表示平面区域时，边界（直线）应画成虚线;二元一次不等式Ax+By+C≥0（≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（包括边界）。
例1、在坐标平面上，（1）请同学在坐标纸上画出不等式组
得 （二）线性区域中的最值问题 基础知识回顾：线性规划的有关概念： （1）线性约束条件：由条件列出的关于x、y的一次不等式组。 （2）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。若是关于x、y的一次解析式，则称为线性目标函数。 （3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 （4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y） （5）可行域：由所有可行解组成的集合。 （6）最优解：在可行域中使目标函数取得最大值或最小值的解。 例2、已知 ， (1)求 的最大和最小值。 变式1、求 的最大和最小值。 (2)、求 的取值范围。 变式2、求 的取值范围。 (3)、求 的最大和最小值。 变式3、求 的最小值。 解析：作出可行域（如图阴影区域包括边界）。 （1） ，作一组平行线l： ， 解 得最优解B（3，1）， ； 解得最优解A（4，6）， 。 答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的赢利最大。 小结:线性规划应用题的解题步骤 （1）设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数。 （2）作：作出可行域 （3）移：作一组平行直线L，平移L，找最优解 （4）解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值。 （5）答。 作业：第三课时 试一试１；强化基础１－８ 五、板书设计 公开课小结 : 《线性规划》是利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解，是直线和不等式的综合运用，在实际应用中有着广泛的用途，在强调素质教育，强调实际运用的高考试卷中对这一章会有所体现的。线性规划部分的考试要求 :了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义;并会简单的应用.重点考察简单线性规划的基本知识以及运用数学知识解决实际问题的能力. 本节课采用多媒体教学，可大大增加复习课容量，适合高三要求，同时本节内容体现的是数学中常用的数学思想“数形结合”，利用多媒体动画使得数形结合更形象，有助于学生学生更好理解和接受。在教学过程中，为保证复习的知识容量，让学生动脑和动手的时间相对有限。 总之，做为一名教师，要适应时代的需要，改善自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。树立现代教育观念，不断学习现代化技术，完善自己，提高素质，要求充分体现学生的主体性，教师的指导性，为此在相应思考题必须尽量细致加些动画，引导性的语言必须准确到为，以便于学生的自主学习。 教师评语： 1.评议者：优点：学生动手，老师准备好纸（印有坐标系）动手画图，然后利用这去解决问题，改变学生听，老师讲的模式；建议：多媒体应用上，可以把讲解答案打印出，多动画显示出可行域及其最优解的取法时。 2.评议者：优点：数学中有层次，有梯度；建议：板书字要大一号。 3.评议者：优点：平移坐标，直观教学；建议：应多点自主学习时间。
得 （二）线性区域中的最值问题 基础知识回顾：线性规划的有关概念： （1）线性约束条件：由条件列出的关于x、y的一次不等式组。 （2）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式。若是关于x、y的一次解析式，则称为线性目标函数。 （3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 （4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y） （5）可行域：由所有可行解组成的集合。 （6）最优解：在可行域中使目标函数取得最大值或最小值的解。 例2、已知 ， (1)求 的最大和最小值。 变式1、求 的最大和最小值。 (2)、求 的取值范围。 变式2、求 的取值范围。 (3)、求 的最大和最小值。 变式3、求 的最小值。 解析：作出可行域（如图阴影区域包括边界）。 （1） ，作一组平行线l： ， 解 得最优解B（3，1）， ； 解得最优解A（4，6）， 。 答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的赢利最大。 小结:线性规划应用题的解题步骤 （1）设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数。 （2）作：作出可行域 （3）移：作一组平行直线L，平移L，找最优解 （4）解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值。 （5）答。 作业：第三课时 试一试１；强化基础１－８ 五、板书设计 公开课小结 : 《线性规划》是利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解，是直线和不等式的综合运用，在实际应用中有着广泛的用途，在强调素质教育，强调实际运用的高考试卷中对这一章会有所体现的。线性规划部分的考试要求 :了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义;并会简单的应用.重点考察简单线性规划的基本知识以及运用数学知识解决实际问题的能力. 本节课采用多媒体教学，可大大增加复习课容量，适合高三要求，同时本节内容体现的是数学中常用的数学思想“数形结合”，利用多媒体动画使得数形结合更形象，有助于学生学生更好理解和接受。在教学过程中，为保证复习的知识容量，让学生动脑和动手的时间相对有限。 总之，做为一名教师，要适应时代的需要，改善自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。树立现代教育观念，不断学习现代化技术，完善自己，提高素质，要求充分体现学生的主体性，教师的指导性，为此在相应思考题必须尽量细致加些动画，引导性的语言必须准确到为，以便于学生的自主学习。 教师评语： 1.评议者：优点：学生动手，老师准备好纸（印有坐标系）动手画图，然后利用这去解决问题，改变学生听，老师讲的模式；建议：多媒体应用上，可以把讲解答案打印出，多动画显示出可行域及其最优解的取法时。 2.评议者：优点：数学中有层次，有梯度；建议：板书字要大一号。 3.评议者：优点：平移坐标，直观教学；建议：应多点自主学习时间。
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