2.1.2空间两条直线的位置关系
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2.1.2 空间两条直线的位置关系
教学目的：
1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.
2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.
3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；
4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角
教学重点：公理4及等角定理的运用 异面直线所成的角.
教学难点：公理4及等角定理的运用 异面直线所成的角.
教学过程：
一、复习引入：
把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？
（每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的 ）
二、讲解新课：
1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2 平行直线
（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式： ．
说明：公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；
（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．
已知： 和 的边 ，并且方向相同，
求证： ．
证明：在 和 的两边分别截取 ，
∵ ，
∴ 是平行四边形，
∴ ，同理 ，
∴ ，即 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
所以， ．
(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.
3.空间两条异面直线的画法
4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式： 与 是异面直线
证明 ：（反证法）假设 直线 与 共面，
∵ ，∴点 和 确定的平面为 ，
∴直线 与 共面于 ，∴ ，与 矛盾，
所以， 与 是异面直线．
5．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．
7．求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
三、讲解范例：
例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且 ，求证：四边形EFGH是梯形
分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形 考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理） 证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例
证明：如图，连接BD
∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,EH= BD.
又在△BCD中， ，∴FG//BD,FG= BD.
根据公理4，EH//FG
又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等
例2 如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心，
求证： ．
证明：连结 分别交 于 ，连结 ，
∵ 分别是 的重心，
∴ 分别是 的中点，
∴ ，又∵ ，
∴ ，由公理4知 ．
例3 如图，已知不共面的直线 相交于 点， 是直线 上的两点， 分别是 上的一点
求证： 和 是异面直线
证（法一）：假设 和 不是异面直线，
则 与 在同一平面内，设为 ，
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，∴ 共面于 ，与已知 不共面相矛盾，
所以， 和 是异面直线
（法二）：∵ ，∴直线 确定一平面设为 ，
∵ ，∴ ，∴ 且 ，
又 不共面， ，∴ ，所以， 与 为异面直线
例4 正方体 中．那些棱所在的直线与直线 是异面直线？求 与 夹角的度数．那些棱所在的直线与直线 垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线 成异面直线的有直线 ，
（2）由 ，可知 等于异面直线 与 的夹角，所以异面直线 与 的夹角为 ．
（3）直线 与直线 都垂直
例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )
(A)和两条异面直线都垂直的直线
(B)和两条异面直线都垂直相交的直线
(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段
(D)和两条异面直线都垂直的所有直线 翰林汇
答案：B
例6 在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 ( )
(A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条
答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条 故选C.
例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( )
(A)与a、b都垂直的直线只有一条
(B)a与b的公垂线只有一条
(C)a与b的公垂线有无数条
(D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离 翰林汇
答案：B
例8已知正方体ABCD－A1B 1C 1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 ( )
（A） （B）a （C） （D） 翰林汇
答案：A
四、课堂练习：
1 判断
（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）
答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√
2．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a Ì 平面a，b Ì 平面b且a∩b=Φ
③ a Ì 平面a，b Ë 平面a ④ 不存在平面a，能使a Ì a且b Ì a成立
上述结论中，正确的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
答案：（1）C（2）C（3）A（4）D
3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
6．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）异面直线a,b满足aÌa,bÌb,a∩b= ，则 与a,b的位置关系一定是（）
（A） 至多与a，b中的一条相交（B） 至少与a，b中的一条相交
（C） 与a，b都相交 （D） 至少与a，b中的一条平行
（3）两异面直线所成的角的范围是 （）
（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]
答案（1）D（2）B （3）：C
7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）
（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）
（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）
（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）
答案：×，×，√，×
五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；
证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”